Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Для определения геометрии достаточно указать расстояния между близкими точками
Ясно, что незачем узнавать расстояние между Нью-Йорком и Сан-Франциско, если уже известны расстояния между Нью-Йорком и Чикаго и между Чикаго и Сан-Франциско, а кроме того, гарантировано, что Чикаго лежит на пути следования авиалинии, соединяющей два города на противоположных краях материка. Тогда достаточнф сложить два меньших расстояния,
112
Г л а в а З
чтобы получить искомое большее. Иначе говоря, незачем пользоваться такой подробной таблицей, какую мы только что описали. Достаточно знать расстояния между любой данной точкой и всеми другими точками, лежащими в непосредственной близости от нее, и больше ничего не нужно.
Аддитивность расстояний
Если у нас имеется таблица расстояний между любой точкой и всеми другими точками, лежащими в непосредственной близости от нее, то путем сложения мы можем определить расстояние между любой данной точкой А и другой данной точкой Р. Естественно, это расстояние будет зависеть от выбора пути. Электронной машине можно задать программу для вычисления длин всевозможных путей, связывающих две данные точки. Пусть, выполнив вычисление, машина выдает только экстремальное значение расстояния — вдоль того «геодезического пути», который приводит к экстремуму. Собственно, необязательно даже составлять программу для такого вычисления. Вопрос становится ясным, как только выясняется принципиальная возможность проведения такой операции. Итак в качестве исходных данных не следует брать расстояния между достаточно удаленными друг от друга событиями, их нужно вычеркнуть из нашей таблицы. Это упрощение номер один.
Перечисление точек упрощается отнесением их к четырем семействам координатных поверхностей
Упрощением номер два является способ перечисления точек. Можно было бы начать с того, что сопоставить каждой точке семизначный телефонный номер. Такие номера, однако, будут все заполнены намного раньше, чем мы закончим нашу работу. Поэтому мы введем вместо них четыре однопараметрических семейства поверхностей. Одно такое семейство поверхностей можно сравнить со стопкой автомобильных крыльев, последовательно пронумерованных. Представьте себе другое семейство поверхностей, пересекающихся и взаимно пе-
Гравитация как геометрия (I)
113
реплетающихся с поверхностями первого семейства наподобие того, как устроена решетка для упаковки яиц (только решетка должна быть очень искаженной и криволинейной). В трехмерном пространстве для удобства перечисления положений всех точек достаточно пользоваться тремя такими независимыми и взаимопроникающими семействами поверхностей. Три координаты, х, у> Z или х\ X2y X3 определяют порядковые номера всех трех пересекающихся в рассматриваемой точке поверхностей. В пространстве — времени для определения положения данного события достаточно четырех семейств коорди^ натных поверхностей.
Единственное требование — требование непрерывности и независимости; предпочтительных систем координат не существует
Координатные поверхности введены только из бухгалтерских соображений. Они пересекают множество событий с должной непрерывностью и независимостью каждого семейства от остальных — вот и все. Эти четыре семейства поверхностей определяют «телефонный номер» из четырех чисел (/, Xy уу z) для каждой точки, о которой заходит речь. Телефонный номер данной точки изменится (?, ху у, z), если мы перейдем к другой системе перечисления, основанной на совершенно других семействах поверхностей. Эта новая система перечисления (каталогизации), если она также удовлетворяет требованиям непрерывности и независимости, столь же хороша, как и старая. Ни одна система перечисления сама по себе не содержит никакой информации о кривизне. Без указания расстояний координаты дают не больше количественной информации о геометрии пространства — времени, чем названия аэропортов об искривленности поверхности Земли.
Координаты как номера каилога
Когда выбрана какая-нибудь координатная система, любую точку P в огромной паутине событий можно за-* нести в наш каталог в виде четырех чисел, записанных
8 Зак. 1740
114
Глава З
в определенном порядке (х, уу Z1 t). Соседняя точка P' в каталоге будет обозначена четырьмя близкими числами (x+dx, y + dy, z+dz, t+dt).
Упрощение, обусловленное конечной мерностью пространства — времени
В окрестности точки P находится бесконечное множество точек P', Р", P"', ... . Может показаться, что
для нахождения расстояний между всеми этими точками требуется задавать бесконечное множество чисел. Ho эти опасения напрасны, ибо пространство — время обладает конечным числом измерений.
Мерность мира проявляется в том, что расстояния между соседними точками не являются независимыми. Например, в двумерном пространстве между тремя точками 1, 2 и 3 можно определить три расстояния (12), (23) и (31), являющиеся произвольными с точностью до неравенства треугольника. Ho для того, чтобы указать положение четвертой точки, достаточно уже задать два расстояния (14) и (24). Третье расстояние (34) полностью определяется тогда из остальных данных с точностью до выбора знака плюс или минус при извлечении квадратного корня. То же самое мы имеем и в случае пространства большего числа измерений. На этом основании можно показать, что расстояние от любой точки до соседней билинейно выражается через раз-ности координат этих точек по формуле
