Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Все сказанное можно выразить в аналитической форме, осуществляя координатизацию многообразия. Если координатами точки P будет совокупность чисел {jc^} и координатами сопоставляемой с ней точки P' — совокупность чисел {x'v}, то отображение можно выразить, задавая хг как функции х для каждой пары соответственных точек. Так как координатизация предполагается непрерывной, по крайней мере в конечных областях, то все отображение, или преобразование, выра* жается соотношением
= ({jcv}). (69)
Таким образом, с помощью любого набора четырех функций a^({a;v}) можно осуществить некоторое топологическое преобразование.
В случае инфинитезимальной деформации или отображения такое отображение можно представить, задавая на многообразии некоторое векторное поле. Элементами поля будут векторы, которые получатся, если соединить каждую точку P с бесконечно близкой к ней точкой P' короткой стрелкой, проведенной от P к Pf
102
Глава 2
(фиг. 2.4). В таком случае говорят, что многообразие допускает группу «движений», порождаемую этим векторным полем. Так как отображения, оставляющие топологию неизменной, произвольны, если не считать указанных ранее ограничений, то всякое векторное поле, заданное на многообразии, порождает некоторое возможное «движение» 1J.
Фиг. 2.4. Инфинитезимальное отображение многообразия в самого
себя.
Что произойдет со свойствами симметрии пространства, если на это пространство наложить геометрическую структуру, например ввести аффинную связность или метрический тензор? Отображая точки нашего многообразия в другие точки, нужно всегда сравнивать геометрическую структуру в каждой из двух сопоставляемых точек. Только в том случае, когда эти структуры одинаковы, можно утверждать, что отображение инвариантно и что это характеризует некоторую симметрию пространства.
Легко сообразить, что при любом наложении геометрической структуры на наше многообразие происходит сужение группы симметрии от группы всевозможных топологических отображений до некоторой ее подгруппы. Так, например, введение лоренцовой метрики в многообразии ограничивает группу симметрии до группы преобразований Лоренца. В случае метрики некото-
1J Это не «движение» в метрических пространствах, вообще говоря. — Прим. ред,
P иманов а геометрия
103
рых других типов может вообще не существовать никакой группы симметрии.
Поскольку в дальнейшем речь пойдет почти исключительно о метрических геометриях, мы будем рассматривать только их свойства симметрии, хотя подобные рассуждения можно провести и для случаев аффинной и проективной геометрий. Задача, следовательно, будет состоять в нахождении общих условий, при которых некоторое отображение или преобразование многообразия оставляет неизменной наложенную на него метрическую структуру. Для простоты ограничимся только случаем бесконечно малого движения от «старых» точек к «новым». Поскольку всякое конечное преобразование можно осуществить как последовательность инфинитези-мальных преобразований, это ограничение не отразится на общности наших рассмотрений 1J.
Пусть векторное поле переводит точку P с ко-
ординатами {*м) в точку P' с координатами {^+^(л;)}. Так как метрические коэффициенты образуют тензор, они преобразуются следующим образом:
При этом х/[Х являются координатами точки P', так что
Поскольку величины I предполагаются бесконечно малыми, обратное преобразование будет иметь вид
Таким образом, метрика, которую это преобразование индуцирует в точке Р\ выразится формулой
в правой части которой все величины предполагаются вычисленными в точке Р.
, _ дхР дх° gW ~ дх'» dx'v gpa‘
(70)
(71)
Jeli = *"1-StV').
(72)
(73)
1) Это не совсем так. Всякому конечному движению отвечает бесконечно малое, но не наоборот. — Прим. ред.
104
Глава 2
Первоначальная метрика в точке Pr может быть выражена через величины, взятые в точке Р, если разложить метрику в окрестности точки P в ряд Тейлора:
Отсюда разность двух метрик g^iv и ^jliv (x-+-dx) оказывается равной
Необходимым и достаточным условием того, что движение, порождаемое векторным полем ?р(л:), не меняет геометрии, будет равенство двух метрик, определяемых формулами (73) и (74):
Из (76) вытекает уравнение для которое можно записать в следующей компактной форме:
Оно известно как уравнение Киллинга, и всякое векторное поле, удовлетворяющее этому уравнению, называют векторным полем Киллинга. Подобные условия можно получить для векторного поля, порождающего движение, при котором аффинная геометрия некоторого пространства остается инвариантной. Поскольку уравнение (77) содержит только геометрические объекты (вектор^) и включает только геометрические операции (ко-вариантное дифференцирование), то оно представляет собой геометрическое уравнение и не зависит от способа координатизации пространства. Векторы Киллинга, будучи операторами инфинитезимальных инвариантных движений пространства, определяют свойства симметрии этого пространства. В свою очередь свойства симметрии определяют инфинитезимальные операторы. Поскольку произвольное векторное поле, вообще говоря, не удовлетворяет уравнению (77), то соответствующее пространство обладает значительно более узкой группой симметрии, чем арифметическое многообразие, как и утверждалось ранее,
