Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
1J Которая, однако, определяется не числом 10, а видом функ-ций ga$(x\ X2, X3i Xі). — Прим. ред.
7 Зак. 1740
98
Глава 2
системы. Эти составляющие являются контравариант-ными компонентами вектора. Отсюда ясно, что поднятие и опускание индексов не изменяет внутренних свойств вектора, а изменяет лишь способ его описания.
Кривизна в римановой геометрии
Тензор, получаемый из тензора B1yi^ опусканием его единственного верхнего индекса, обычно называют тензором Римана — Кристоффеля {):
“ Sца^|3у6*
Этот тензор имеет следующую геометрическую интерпретацию. На двух произвольных векторах ?** и заданных в некоторой точке четырехмерного пространства, можно построить совокупность векторов взяв всевозможные линейные комбинации ?** и
W11 = IttI« + if*®; (61)
скаляры и UV могут принимать здесь любые значения.
Проведем теперь из этой точки все геодезические, для которых w* являются касательными векторами. Совокупность этих геодезических образует некоторую двумерную поверхность в четырехмерном пространстве. Кривизну этой двумерной поверхности можно определить как кривизну сферы, построенной так, что она с точностью до величин второго порядка совпадает с нашей поверхностью в окрестности рассматриваемой точки.
Эта кривизна, определяемая на базе двух векторов и обозначается буквой К и выражается следующей формулой:
__ IS _ ^vpg^V^P_______
(Vf» -tfae^v) ’
') Лучше сказать, что при 1? = Щ B,lpYf> = , так как
автор уже с полным основанием указал, что один и тот же тензор можно рассматривать как в ковариантном, так и контрава-риантном аспекте, говоря о его компонентах. — Прим. перев.
P и ма но в а геометрия
99
где
Є* = 4У _6Эча (б3)
Итак, R вместе с g описывает кривизну поверхности, задаваемой векторами ?** и г\
Имеется другой важный тензор, играющий существенную роль в общей теории относительности. Это так называемый тензор Риччи Rviv, определяемый формулой *)
R\iv — R ^vi' (64)
Скалярная кривизна R по определению равна
R = g^R»v (65)
Она имеет простую геометрическую интерпретацию. Определим вначале понятие ортогональности векторов. Два вектора А» и В» ортогональны друг другу, если
g ^Bv = O. (66)
Это свойство инвариантно. В л-мерном пространстве можно построить систему п векторов, которые все ортогональны друг другу. Каждая пара таких векторов задает некоторую двумерную поверхность. В четырех-мерном пространстве существует шесть таких поверхностей, проходящих через любую заданную точку. Средняя кривизна этих шести поверхностей и является скалярной кривизной R.
Рассмотрим далее среднюю скалярную кривизну трехмерного подпространства, ортогонального к произвольному заданному вектору |^. Кривизна К этого подпространства выражается формулой
G EtxEv
к="fr-' (67)
1J У некоторых авторов тензор Риччи берется как ^1piiv. т. е. отличается знаком от определенного формулой (64). — Прим. перев.
7*
100
Глава 2
где величина Gliv по определению есть
Gllv = Ry,v у SlivR- (68)
Тензор Gpiv играет фундаментальную роль в структуре уравнений поля общей теории относительности1).
Свойства симметрии в геометрии
Выяснив, как путем введения в арифметическом многообразии тех или иных геометрических величин можно получать различные типы геометрии, обратимся теперь к рассмотрению свойств симметрии этих различных типов геометрии. Мы все отдаем себе отчет о той роли, которую играет симметрия в формулировке физической теории, и особенно частной и общей теории относительности Эйнштейна. Свойства симметрии важны в первую очередь тем, что они накладывают ограничения на теории, которые можно было бы предложить для описания данной физической системы. Так, например, требование частно-релятивистской инвариантности приводит к ограничению числа полей, описывающих частицы.
Каковы же в таком случае свойства симметрии арифметического многообразия? Арифметическое многообразие характеризуется тем, что ни одну точку многообразия невозможно отличить от другой точки. Стоило бы нам только «потеряться» в таком многообразии, и у нас не было бы никакой возможности сообщить о своем местоположении, ибо здесь нет никаких геометрических «вех» или ориентиров. Единственными свойствами, которыми обладает арифметическое многообразие, являются топологические свойства, такие, как его связность2). Эти свойства не меняются при какой бы то ни было деформации многообразия, вроде закручивания
1J Тензор Gviv называется консервативным тензором Эйнштейна и удовлетворяет дифференциальным тождествам G^v. v = 0. — Прим. перев.
2) Речь идет о топологической связности, а не об аффинной связности Г1 — Прим. перев.
P и м а но в а геометрия
101
или растяжения, если только деформация недостаточна для его разрыва.
Чтобы сформулировать эту мысль точнее, можно ввести понятие отображения или преобразования точек многообразия самих в себя. Каждой точке P многообразия сопоставляется некоторая новая точка P', причем к соответствию предъявляется единственное требование, чтобы многообразие при этом не разрывалось. Иными словами, топологически близкие друг другу точки должны отображаться в точки, также топологически близкие друг другу. Когда точка P переводится в точку P', вместе с ней должна переноситься и топология окрестности точки Р, заменяя топологию окрестности P'. Поскольку локальная топология всегда предполагается евклидовой, то ясно, что замена топологии в точке Pr топологией в точке P ничего не изменяет в многообразии. Следовательно, арифметическое многообразие допускает самое общее топологическое преобразование, так что его симметрия есть симметрия группы всех возможных топологических преобразований.
