Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = Tipiv d& dxv, (49)
где
—1 0 0 0
0 —1 0 0
0 0 —1 0
0 0 0 1
Это — метрика Минковского.
Интересно отметить, что не всегда оказывается возможным непротиворечивым образом ввести метрику в аффинную геометрию. Возьмем, например, простран-
1J Это утверждение весьма неточно. Лучше сказать, что в каждой точке искривленного пространства можно построить касательное к нему плоское пространство — этим и исчерпывается упо-
мянутое «подобие». — Прим. перев.
P и м а но в а геометрия
95
ство — время, инвариантное относительно галилеевой группы преобразований:
хг — х— vxt,
В определении такого пространства содержатся понятия параллельного переноса и аффинной связности. Действительно, здесь можно говорить об однозначном параллельном переносе на конечные расстояния. Это значит, что можно говорить о параллельности векторов, находящихся на большом расстоянии друг от друга, и, следовательно, рассматриваемое !пространство является плоским. Однако ввести несингулярную метрику в таком пространстве оказывается невозможным.
Дело в том, что при отличном от нуля расстоянии во времени At расстояние в пространстве можно путем преобразования вида (51) сделать любым, тогда как временной промежуток будет оставаться неизменным. Следовательно, мы не можем однозначно определить расстояние в пространстве — времени. Только в том случае, когда точки не разделены во времени, расстояние между ними можно определить однозначно. Это будет геометрия трехмерного плоского пространства, соответствующего определенному моменту времени. В пространстве Минковского такой неприятности не возникает, так как время там не инвариантно и существует предельная скорость!).
Метрика, определяемая величинами Tipiv в формуле (50), получает свое естественное обобщение в случае
1J Здесь фактически допущено незаконное в этом случае предположение о применимости метрики Минковского или какой-либо другой фиксированной метрики для определения пространственно-временных интервалов В действительности, как это проанализиро* вал, например, Мёллер (С. Moller, The Theory of Relativity, Ox* ford, 1952), преобразования Галилея приводят к системам координат, в которых время не ортогонально пространственным координатам, но в остальных отношениях эти системы так же хороши, как лоренцовы, если применять общее выражение для метрики. — Прим. перев.
у' = у — Vyt, Zr-Z — Vj, t' = t.
(51)
96
Глава 2
произвольного риманова пространственно-временного континуума. Мы можем просто-напросто определить ин-финитезимальное расстояние между двумя соседними точками формулой
ds2 = dx» dxvy (52)
где guv—некоторое новое тензорное поле.
Дав такое определение, можно поставить вопрос: нет ли какой-либо связи между метрикой guv и аффинной связностью rpY, которая была введена при определении операции параллельного переноса. Оказывается, что такое соотношение существует, и его можно получить, если потребовать, чтобы геодезические линии, построенные методом параллельного переноса, были кратчайшими линиями между двумя точками. Уравнение кривой, вдоль которой расстояние между двумя точками в пространстве будет наименьшим, при определении расстояния согласно (52) имеет вид
і ( M- ) dj<P dx° _~ /сох
ds2 ' (pa I ds ds ~U'
где величины I, называемые обычно символами Кристоффеля, определяются формулой
{ ? } = T (Sm a + Say, P - ?ра, v). (54)
Величины ^liv, входящие в эту формулу, вскоре будут
выражены через g . Как видно из сравнения уравнений (45) и (53), геодезическая линия будет совпадать с линией наименьшей длины, если положить
Г~“{?Ь (55)
Используя это тождество, можно выразить тензор B11iXll, определенный формулой (48), через метрические величины. Метрический тензор можно считать симметричным, так как антисимметричные компоненты не дадут вклада в величину ds2. Поэтому он имеет только 10 независимых компонент. Отметим для сравнения, что симметричная аффинная связность имеет 40, а произволь-
P и м а но в а геометрия
97
ная — 64 независимые компоненты. Эти 10 компонент заключают в себе геометрическую структуру общей теории относительности1).
При введении понятия вектора контравариантные и ковариантные векторы были определены раздельно и не было указано никакого правила, позволяющего определить ковариантные компоненты какого-либо данного вектора по его контравариантным компонентам. Будем определять ковариантные компоненты любого контрава-риантного вектора, полагая просто
\ = (56)
Отсюда, в частности,
AXvA^AilAtl. (57)
Далее мы можем определить тензор обратный тензору в соответствии с равенством
ё\у = К' (58)
где
I 1 при а = у, v \ 0 при а фу.
Отсюда следует, что
Av = gv4, (59)
Выражения (56) и (59) дают правила поднятия и опускания тензорных индексов.
Поясним теперь смысл ковариантных и контравариантных компонент вектора. В случае косоугольной системы координат имеются два способа описания компонент вектора, В одном случае этот вектор проектируется на некоторую совокупность направлений, параллельных базисным векторам координатной системы. Эти проекции представляют собой ковариантные компоненты век* тора. В другом случае вектор раскладывается на составляющие, параллельные базисным векторам координатной
