Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
6*
84
Глава 2
Дифференцирование тензоров
Перейдем теперь к определению операции дифференцирования тензоров и будем обозначать эту операцию с помощью запятой. Так, <р,ц означает частную производную функции ф по х». Вообще же
дТ ..
т _-----------(18)
...p.... dxV Величина Т... ц...,v» однако, не является тензором. Рассмотрим, например, закон преобразования производной вектора:
А -дЛ*
В результате преобразования координат {лц} -*¦ {x/V} величина AfliV принимает вид
Л' __ Jl I Jk ,«д.
а** + (19)
Ясно, что это не тензорный закон преобразования. Однако существуют некоторые дифференциальные операции, применение которых приводит к тензорным величинам, а именно по тензорным законам преобразуются следующие комбинации производных:
Av,ц — AjIiV, (20)
<Рду,р + Vv + cPvplll (при = - <Pj (21)
и
AfIVplCr — AypalfI ApafljV — AafIvjP, (22)
если тензор Afivp антисимметричен относительно перестановки любой пары из всех трех его индексов.
При помощи дифференциальных операций могут быть построены также и тензорные плотности
St^V (нулевого ранга), (23)
ЯГ? (для 2Г = -9Г). (24)
P и мано в а геометрия
85
St^pp (для ^vp, антисимметричной по всем индексам). (25)
ГГ (для ^vpct антисимметричной по всем индексам).
(26)
Спросим себя теперь: какую физическую теорию и в каком объеме можно построить, имея в распоряжении только тензоры, тензорные плотности и их производные? Можно, например, используя два антисимметричных тензора второго ранга T^v и фцУ» записать следующие уравнения:
г*:=/,
Если положить
piv __
rHV
ipHVjP + cPpnv + 4W 0.
0 Нг -Ну — D
-Hz 0 Hx -D1
Ну -Hx 0 — D.
Dx Dy Dt 0
0 вг -By -Ex
-Bz 0 Bx -Ey
By -Bx 0 -E2
Ex Ey Et 0
(27)
(28)
(29)
и считать плотностью тока, то уравнения (27) оказываются знаменитыми уравнениями Максвелла. Ho при отсутствии дополнительных уравнений, связывающих В и E с H и Df нельзя получить никаких решений не связанных друг с другом систем уравнений (27). Следовательно, сами по себе эти уравнения лишены физического содержания. Напрашивается мысль, что нетривиальная теория, которая касается величин, определенных на многообразии, в первую очередь потребует привлечения сверх введенных антисимметричных величин еще неко* торого симметричного тензора второго ранга. Без этого мы либо вообще не построим никакой теории, либо построим теорию, дающую только тривиальное решение. Следовательно, указанным выше способом можно
86
Глава 2
получить лишь форму уравнений Максвелла, но нельзя выявить всего их содержания.
Необходимость ввести некоторую добавочную структуру, определяемую на многообразии, приводит нас к различным типам геометрий. Рассмотрим сначала аффинную геометрию.
Аффинная геометрия: понятие ковариантного дифференцирования
Чтобы построить аффинную геометрию, выберем какую-нибудь систему координат на нашем многообразии и введем в каждой точке совокупность 64 чисел !^(коэффициентов аффинной связности), которая называется аффинной связностью нашего пространства. Выбор величин Г определяет тип накладываемой на пространство геометрии. Ho этого недостаточно, чтобы определить аффинную связность. Необходимо еще принять некоторое правило, позволяющее по заданным значениям Г в одной системе координат построить их в другой системе координат. Закон преобразования должен быть таким, чтобы значения величин Г в новой системе координат однозначно определялись их значениями в исходной системе и самим координатным преобразованием.
Определим закон преобразования Г, введя понятие ковариантной производной ковариантного вектора (обозначается точкой с запятой пеіред индексом, указывающим координату, по которой производится дифференцирование):
= Г?Ир. (30)
Потребуем, чтобы в этом законе преобразования для Г сама величина Alliv преобразовывалась как ковариант-ный тензор второго ранга. Тогда закон преобразования для Г будет иметь вид
JVp __ дх/Р дху дх6 ла , дх/Р д2ха /01ч
I Jiv — -----ц 71Yfi і ” й ~ • WU
дха дх' дх' дха дх' дх'
Из-за наличия последнего члена в выражении (31) величина преобразуется не по тензорному закону. Тем не
P и м а но в а геометрия
87
менее, согласно этому закону преобразования, ее компоненты в произвольной системе координат однозначно определяются значениями этих компонент в любой другой системе координат. Следовательно, они зависят только от геометрии, наложенной на пространство, и тем самым относятся к числу величин, характеризующих внутренние свойства пространства.
Если значение аффинной связности Г задано в некоторой системе координат, то всегда можіно найти такую другую координатную систему, в которой все ее компоненты в какой-либо одной точке равны нулю. В этой точке ковариантная производная сводится к обычной производной
A\i;v == (32)
В малой окрестности этой точки геометрия совпадает с геометрией Минковского для плоского пространства1). Таким образом, любой закон, содержащий обычные производные (справедливый в плоском пространстве)2), можно перевести в закон, справедливый в общей теории относительности (где пространство уже не является плоским), заменяя обычные производные на ковари-антные.
