Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
+ + (10) Складывать можно только тензоры одинаковых рангов по контравариантным и ковариантным индексам, взятым порознь, и только относящиеся к одной и той же точке.
Тот или иной тензор можно задать во всех точках пространства. В таком случае говорят о тензорном
1J В литературе также часто употребляется термин «валентность», выгодный в том отношении, что его нельзя смешать с понятием ранга матрицы. — Прим. перев.
2) Символика весьма сомнительная. Конечно, лучше так: суммой называется тензор
где (jji) — некоторая комбинация индексов одного рода. — Прим. ред.
P и мано в а геометрия
81
поле1). При сложении тензорных полей складываются соответствующие значения в каждой точке. Складывать тензоры, взятые в разных точках, не имеет смысла, поскольку они преобразуются в различных точках по-раз-ному, и такая сумма не обладала бы необходимыми трансформационными свойствами. Поэтому, чтобы в результате суммирования получить тензор, необходимо складывать тензоры одинакового ранга и вида (в отношении ковариантности и контравариантности), взятые в одной и той же точке.
Операция умножения двух тензоров определяется таким образом, что компоненты результирующего тензора получаются перемножением всех компонент исходных тензоров:
где и В'"1*'” не обязательно одинакового ранга и не обязательно одинаковы в смысле ковариантности и контравариантности. Ранг результирующего тензора AB равен сумме рангов перемножаемых тензоров А и В.
Легко проверить, ЧТО тензор-произведение (АВ) ........v-
действительно -преобразуется по тензорному закону.
Определим еще некоторые алгебраические операции. Можно свернуть тензор, если произвести суммирование по паре индексов, одному контраваріантному и одному ковариантному, получая при этом новый тензор
Ранг свернутого тензора на две единицы меньше ранга исходного. Например, перемножая два вектора А» и Bvj получим тензор второго ранга (AB)“ Свертывание (AB)) дает величину А»Вц, которая является скалярным произведением двух векторов и представляет собой тензор нулевого ранга (скаляр).
Важным свойством тензоров, которое сохраняется при преобразованиях, является их симметрия. Она
1J В случае тензорного поля коэффициентами линейного преобразования будут значения функции дх'а/дх$, взятые в данной точке, как это имело место выше. — Прим. ред.
... V ...
(П)
(12)
82
Глава 2
связана с изменением знака тензора при взаимной перестановке пары индексов одного рода:
В зависимости от того, какой знак, плюс или минус, следует писать для рассматриваемого тензора в выражении (13), такой тензор называется симметричным или антисимметричным по данной паре индексов \х и v1). Свойство симметрии тензора инвариантно относительно преобразования координат.
Существует тензор специального вида, так называемый дельта-символ Кронекера, который определяется следующим образом:
Легко показать, что определенная таким образом величина преобразуется по тензорному закону.
Отметим одно следствие однородности тензорного закона преобразования: если все компоненты какого-либо тензора равны нулю в одной системе координат, то они также будут равны нулю и в любой другой системе координат.
Тензорные плотности
Существуют и другие величины, преобразующиеся по линейному однородному закону. Эти величины, которые называются тензорными плотностями, играют важную роль в общей теории относительности. Следуя общепринятой форме записи, будем обозначать тензорные плотности заглавными буквами готического алфавита. Тензорная плотность может иметь как контравариантные, так и ковариантные индексы. При преобразовании координат {*}-*{*'} компоненты тензорной плотности §
(13)
при H = V, при Ф V.
(14)
1J Существенно, конечно, лишь положение этих индексов среди всех прочих, а не та конкретная буква, которой они обозначаются. — Прим. перев.
P и мано в а геометрия
83
преобразуются следующим образом:
Г'*1- =
дха
дх
,P
дх
./і*
dxv
(15)
В этой формуле \дха/дх^\— якобиан преобразования координат, а целое число w — вес тензорной плотности g 'v".
Существенную роль играет тензорная плотность Леьи-Чивита є^Ра, определяемая как
-fl, если последовательность индексов |ы, V, р, о является четной перестановкой 1, 2, 3, 4,
—1, если последовательность индексов ц, V, р, о является нечетной перестановкой 1, 2, 3, 4,
О, если среди |А, V, р, о имеется хотя бы пара одинаковых индексов.
Можно показать, что e^v°a представляет собой (аксиальную) тензорную плотность первого ранга. Эта величина позволяет записать определитель произвольного тензора второго ранга в виде
gixvpa _
(16)
(17)
Здесь е обеспечивает нужную комбинацию различных компонент тензора h в соответствии с определением определителя.
До сих пор мы рассматривали только такие геометрические величины, законы преобразования которых линейны и однородны. Помимо них, существуют геометрические величины и других типов. Например, к числу геометрических величин принадлежит аффинная связность. Закон ее преобразования линеен, но не однороден. Об этом речь пойдет несколько позже. Имеются геометрические объекты и с еще более сложными законами преобразования, однако мы не будем на них останавливаться, поскольку в настоящее время они не находят приложения в физике.
