Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Каков <тлан» построения общей теории относительности?
Чтобы ответить на один вопрос, часто бывает полезно задать другой. Поэтому с точки зрения поисков математической формулировки принципа Маха (оправданных теперь с физической стороны) следует приветствовать то, что в настоящий момент на обсуждение поставлен новый круг вопросов. Это вопросы, которые выдвинул на Варшавской конференции проф. Синг [14]: каков план построения общей теории относительности? какие величины можно выбирать произвольно и какие тем самым должны определяться? какова внутренняя структура динамической теории мира, геометрия кото-* рого подчинена уравнениям поля Эйнштейна?
План 1: задание начальных значений на изотропной гиперпо еерхности
Один план построения динамики исходит из световой (изотропной) гиперповерхности. В применении к механике систем частиц такой подход требует задания соответствующего числа координат и импульсов в моменты времени, когда соответствующие мировые линии пересекают данную нулевую гиперповерхность. Эта формулировка механики разрабатывалась Дираком и Фоком [15]. Соответствующая формулировка геометроди-намики, особенно в связи с изучением гравитационного излучения, была развита Пенрозом, Бонди, Саксом и
486
Глава 15
другими и описана в большом докладе Сакса на Варшавской конференции [14]. Ho этот подход нельзя считать тесно связанным с наиболее широко используемыми в остальных областях физики формулировками динамики. Его связь с принципом Маха не была исследована.
План 2: координаты и импульсы — или внутренняя геометрия и внешняя кривизна — задаются на пространственноподобной гиперповерхности
Более привычным является другой план построения динамики. В качестве начальных условий в динамике частиц берутся координаты и импульсы различных частиц в таких точках на соответствующих мировых линиях. которые отделены друг от друга пространственноподобными интервалами. В электродинамике берутся полевые «координаты» и «импульсы» — напряженность магнитного поля 8(*1, X21 х3) и напряженность электрического поля ?(*1, X2t JC3) —повсюду на некоторой пространственноподобной гиперповерхности. Полевые координаты и импульсы могут быть взяты на пространственноподобной гиперповерхности и в геометродинамике. Здесь это 1) внутренняя по отношению к данной гиперповерхности трехмерная геометрия, выражаемая с помощью квадрата интервала
ds2—te)gik(x\^ j^)dxldkk, (15)
и 2) «внешняя кривизна», или так называемая «вторая фундаментальная форма»1), указывающая, как искривлена данная гиперповерхность относительно окружающей ее (и еще неизвестной) четырехмерной геометрии. Если четырехмерная геометрия характеризуется формой
do2 = — dx2={4)ga$dxa dx$={z)gik (х°, х\ X2t x?)dxl dxk-\-+ 27V; dx1 dx? + (MgikNlNkN*) ^x°f, (16)
причем условие
;c° = jc°* (17)
Cm., например, [16].
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 487
определяет рассматриваемую пространственноподобную гиперповерхность, то тензор внешней кривизны определяется выражением1)
Kik = щ ( dx*ik ~ 1 * — Nk І і) 9
где считается, что координате X0 придано конкретное значение X0*. Вертикальная черта использована для обозначения ковариантного дифферёнцирования относительно трехмерной геометрии на гиперповерхности в отличие от точки с запятой, которая обозначает кова-риантное дифференцирование относительно четырехмерной геометрии. Потенциалы Арновитта, Дезера и Миз-нера (АДМ) Ni рассматриваются ниже. Геометродинамические импульсы выражаются [17—21] через тензор внутренней кривизны и его след как
nik = - УЩ (Kift - (3У* Sp К). (19)
Четырехмерные потенциалы, или метрические коэффициенты, N0 и Nh как «функция следования» и «функция сдвига»
Значение потенциалов АДМ Na можно объяснить следующим образом. Представим себе две тонкие стальные ленты, которые характеризуются разными значениями х°: X0'= 17,23 и X0"= 17,27 (фиг. 15.1). Решено сделать из таких стальных лент решетчатый занавес. Для этого мастер наносит на одной ленте отрезки, которые могут быть и не одинаковыми, но не должны быть беспорядочными и хаотическими. Он нумерует их числами я1 = ..., 12, 13, 14,___То же самое повторяется
и на второй ленте, причем мастер старается, чтобы новая система поперечных линий не сильно отличалась от предыдущей. После этого он приваривает к первой ленте в местах, обозначенных через х1=... , 12, 13, 14, ... , перпендикулярные распорки (отрезки «следования»). Чтобы окончательно получить жесткую
1J Cm. работу Арновитта, Дезера и Мизнера [17] и другие работы этих авторов, на которые они ссылаются в статье [17], а также их работу [18] и работы других авторов [19—21].
488
Глава 15
Фиг. 15.1. Использование потенциалов АДМ для построения искривленной пространственноподобной поверхности с заданным следованием во времени.
Цифровые данные, использованные при построении этой поверхности, приведены в «таблице мастера».
конструкцию, требуется задать длины распорок и те места, где они смыкаются перпендикулярно с верхней лентой. Мы должны дать мастеру две функции No(xl) и N1 (х1)—«функцию следования» и «функцию
