Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Протяженность а распределения заряда стремится
К OO
Да. При больших г потенциал V убывает как 1 /г или быстрее
Нет, потенциал V не исчезает на бесконечности
Нет. Следует указать, присутствуют ли и какой вид имеют гравитационные волны. Иначе говоря, следует уточнить еще не определенные детали внутренней трехмерной геометрии, в которую погружены массы в момент временной симметрии *)
Да. Прочие свойства, внутренние по отношению к этой трехмерной геометрии, должны теперь однозначно определяться ОО-компонентой уравнений Эйнштейна и граничным условием замкнутости2). Принцип Маха выполнен
Эффективный радиус b шварцшильдов-ской зоны стремится K OO
Да. Шварцшильдовская зона является ячейкой замкнутого мира, к которому применим принцип Маха
Нет. Пространство Шварцшильда является асимптотически плоским
*) Cm., например, «модифицированный мирТауба», рассматриваемый в тексте и в приложении В в качестве альтернативы ячеистой Вселенной как решение уравнений поля Эйнштейна, также удовлетворяющего условию замкнутости.
2) Такая однозначность может быть установлена, как показано в приложении А, для случая ячеистого мира, не содержащего гравитационных волн. Случай, когда в таком мире имеются гравитационные волны, не был исследован, но в одной близкой задаче (при определенном распределении гравитационного излучения) была показана однозначность трехмерной геометрии, вытекающая из условия замкнутости [10—12J.
480
Глава 15
гиперповерхностью) равен 4л&3/3. Через а обозначим радиус кривизны соответствующей Вселенной с однородной плотностью и всюду одинаковой кривизной, взятый также в момент зеркальной симметрии между прошлым и будущим. Этот радиус кривизны можно следующим образом определить через /п* и Ь. Поверхности, разделяющие «шварцшильдовские ячейки», не настолько удалены от центров, чтобы пространство становилось плоским1). Шварцшильдовская кривизна в локально ло-ренцовой системе координат в плоскости, перпендикулярной радиальной координате данной зоны, определяется как
В типичной же плоскости, соответствующей однородной модели, радиус кривизны входит в выражение для кривизны следующим образом:
Вместо этого мы могли бы записать 00-компоненту уравнений поля Эйнштейна (уравнение главных начальных значений по Фурэ-Брюа), имеющую вид
3R + (Sp К)2 — Sp K2 = 2 х (Плотность энергии). (10)
Тензор внутренней кривизны, или «вторая фундаментальная форма» Kij1 обращается в нуль на симметричной во времени пространственноподобной гиперповерхности, а инвариант скалярной кривизны трехмерной сферы радиусом а, если его выразить через физические
^2323 = •
Приравнивая друг другу R^m и R2згз. найдем
(8)
(9)
*) Вопрос о «склейке» геометрий, неизбежно здесь возникающий, нельзя рассматривать в такой мере качественно, без отнесения к классу допустимых функций. — Прим. ред.
Принцип Маха как граничное услдвиё для уравн. Эйнштейна 481
компоненты кривизны (помеченные шляпками), равен
(3)/? ==* (3)/?u -f- (3)/?22 + (3)?эЗ = (^1212 + ^1313) +
4" (^2121 + ^2323) Н“ (^3131 4“ ^3232) = ~q2 • (11)
Плотность массы (энергии) 8 уравнении (10) можно приравнять т/(4/Зя63). Тогда из уравнений (10) и (И) следует
6 16jtG 3тс2
а2 с4 Anb3 *
откуда, наконец,
(12)
(W)
Число ячеек N приближенно определяется как
дг ^ Объем однородной модели ^ 2п2а3 ________
Объем ячейки ~ 4/3nb3
3zi I b \3/2 /1у!Ч
¦ <14)
Таким образом, число ячеек бесконечно возрастает при .неограниченном увеличении размеров элементарной ячейки.
Неравномерность стремления ячеистого мира к пределу плоского пространства
Оказывается, что важное значение имеет порядок, в котором берется предел при увеличении размеров ячеек. Пусть наблюдатель А выберет 1) произвольное, но конечное расстояние от одного из центров массы,
2) произвольный, но конечный отрезок времени и
3) произвольно малое, но отличное от нуля отклонение от шварцшильдовской геометрии, которое он считает допустимым. Тогда другой наблюдатель Б может выбрать такой достаточно большой эффективный радиус элементарной шварцшильдовской зоны в момент максимального расширения, что геометрия внутри этой зоны будет
1) с заданной степенью точности 2) вплоть до указан-
31 Зак 1740
Глава tS
ного расстояния и 3) для заданного времени совпадать с идеальной геометрией Шварцшильда. Если же сначала Б задает радиус зоны в момент максимального расширения, то после этого А всегда может указать место, расположенное настолько далеко, что геометрия в нем будет в корне отличаться от продолжения шварц-шильдовской геометрии исходной зоны. Наблюдатель А может даже сказать, что мир является замкнутым и соответствует требованиям принципа Маха. Получается, что вывод А о том, будет ли мир асимптотически плоским или замкнутым, зависит от того, начнет ли он сразу проверять геометрию или подождет, пока наблюдатель Б не установит размеры зоны. То, что выводы, получаемые А, зависят от порядка его действий, математически можно выразить следующим образом: стремление к предельному случаю бесконечного ячеистого мира является неравномерным.
