Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Вытолкнутая с черного хода, физически неприемлемая ситуация снова входит и в электростатику, и в общую теорию относительности (табл. 15.3) через парадный ход в новом, идеализированном виде. Рассмотрим геометрию, совместную с данными граничными условиями, т. е. мир, замкнутый и лишенный особенно-стей в некоторый начальный момент времени, говоря точнее, на некоторой начальной пространственноподобной гиперповерхности. Чтобы получить такую геометрию, следует взять не одиночное сферически симметричное распределение масс, а множество подобных центров. Пусть число центров и расстояния между ними подобраны так, чтобы пространство замкнулось ввиду своей кривизны1) (см. приложение А). Динамика та-
1J Подробный, хотя и приближенный анализ динамики такого ячеистого мира проведен в работе [9]. Подход, более близкий к точному, дан в приложении А для момента временной симметрии.
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 477
кой ячеистой Вселенной до и после момента временной симметрии с точностью до нескольких процентов и даже более точно согласуется с динамикой мира Фридмана. Свойства этой ячеистой Вселенной находятся с согласии также с предположениями, лежащими в основе модели Фридмана (равномерно распределенная пыль при отсутствии давления и везде одинаковой кривизне). При расширении и новом сжатии ячеистой Вселенной изменяется положение границы соседних зон, а геометрия внутри каждой шварцшильдовской зоны не изменяется. Граничная поверхность отодвигается от центров притяжения, находящихся по обе стороны от нее, следуя закону движения камня, брошенного в радиальном направлении. Она отходит на некоторое максимальное расстояние, а затем падает, приближаясь одновременно к обоим центрам масс. При этом центры сближаются. Время расширения и последующего сжатия ячеистой Вселенной (и границ каждой из шварцшильдовских зон) выражается следующим образом:
(Время расширения и но- \ / Радиус ячеистой Вселен-\
вого сжатия в единицах J = я X ной при наибольшем рас- J « длины / \ ширении /
(Радиус одной шварцшиль-\3/2 / Удвоенная масса центра\ - W
довской зоны при макси- J X I зоны, выраженная в еди- J мальном расширении / чницах длины /
Время такого расширения может быть сделано сколь угодно большим по сравнению с тем временем, за которое свет пересекает одну шварцшильдовскую зону. Для этого нужно просто, взять зоны достаточно большого радиуса Ь.
В табл. 15.3 геометрия Шварцшильда представлена как предел геометрии замкнутого ячеистого мира, если размеры элементарной ячейки устремить к бесконечно* сти. Такой предельный переход сравнивается в этой таблице с подобным же предельным переходом в электро* статике. Мы воспользовались следующими обозначениями. Масса (в сантиметрах), сосредоточенная в центре каждой ячейки, обозначена через /п*, причем m* = GmIc2. Объем элементарной ячейки в «момент» максимального расширения (определяемый пространственноподобной
Таблица 15.3
Геометрия Шварцшильда как предельный случай геометрии замкнутой ячеистой Вселенной, когда размеры ячеек устремляются к бесконечности, и аналогичный пример из электростатики
Источник (в первоначальном виде)
Предмет исследования
Является ли «эффект» настолько однозначно связанным с «источником», что его можно считать в этом идеализированном случае «порождением» источника?
Удовлетворяет ли «эффект» граничным условиям, указанным в табл. 15.2?
Видоизмененное распределение, совместимое с граничными условиями
Характерные размеры, связанные с новым источником
Пример из электростатики
Пример из общей теории относительности
Бесконечное периодическое распределение заряда Ps= = ро cos kz
Электрический потенциал и, таким образом, электрическое поле
Нет. К потенциалу можно добавлять любое число гармоник вида г"К™(0, <р)
Нет. Ни одно из выражений для V не убывает на больших расстояниях как 1 Ir
р=ро cos kz • е
-г* I а*
Протяженность распределенного заряда
Одиночная сферически симметричная масса, окруженная пустым пространством
Метрика пространства — времени и, таким образом, инертные свойства любой бесконечно малой пробной частицы
Нет. При таком «распределении» источника уравнениям Эйнштейна удовлетворяют асимптотически плоское поле Шварцшильда и многие другие геометрии пустого пространства
Шварцшильдовская геометрия в ее обычном понимании не описывает замкнутого мира
Система большого числа таких масс, распределенных в замкнутой Вселенной в достаточной мере равномерно
Эффективный радиус b типичной шварц-шильдовской зоны
Корректно ли определен теперь источник?
Есть ли основания считать после окончательной конкретизации «источника», что «эффект» корректно определяется новым «источником» и граничными условиями?
В чем состоит теперь предельный переход?
Выполняются ли соответствующие граничные условия для всех конечных значений параметров а и 6?
Удовлетворяются ли граничные условия при бесконечном значении этих параметров?
Да
Да. В этом случае можно доказать, что распределение электрических зарядов однозначно определяет потенциал
