Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Представим себе, что найдены два различных разбиения величин grs и prs. Символически можно записать
A1 = O, A2 (х = 0) = 0, А3(д: = 1/ = 0) = 0.
(31)
(32)
(33)
(34)
и
(35)
Квантование общей теории относительности 453
Величины у имеют смысл физических или координатных условий. Поскольку и t/физ и {/фИЗ соответствуют одной и той же физической картине, они должны выражаться друг через друга. Ho, вообще говоря, величина УК00?Л должна зависеть как от f/коорд, так и от {/фИЗ, и наоборот. Так, например, при формулировке уравнения (21) мы склонны рассматривать в качестве операторов лишь физические части поля, а к координатным частям подходить как к с-числам (т. е. как к классическим или взаимно коммутирующим величинам — не операторам). Этот раздельный подход к физическим и к координатным частям приводит к следующей трудности. Величины, рассматриваемые при одном подходе как с-числа, становятся при другом подходе операторами, и наоборот. Конечно, можно себе представить, что указанные трудности удастся как-то преодолеть и изобрести общий критерий физической эквивалентности различных схем разбиения, встречающихся в рамках обсуждавшейся процедуры квантования. Я, однако, очень сомневаюсь в возможности этого, и вот почему.
Мы уже упоминали, что в рамках гамильтонова формализма возможны два способа квантования. При том способе, о котором говорилось выше, лишь физические части полей должны рассматриваться как операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Эти физические части инвариантны относительно калибровочного или координатного преобразования. Тогда из квантования, производимого с использованием гильбертова пространства, исключается группа калибровки или группа координатных преобразований, что затрудняет проверку рассматривавшейся выше эквивалентности.
При другом подходе к квантованию все полевые переменные рассматриваются как операторы. Такие операторы— либо Аир, либо grs и prs — должны давать обычные перестановочные соотношения между каноническими переменными. Мы имеем тогда, например,
[8т* S’ab\ = Ws, /“I= 0, (36)
(37)
454
Глава 14
Штрих при соответствующей переменной указывает, что она берется в точке х' пространства. Эти операторы действуют в линейном векторном пространстве, элементы которого зависят от grs. В таком представлении наши операторы имеют вид
gr/9(x) = grsV(x), p'sfp(x)^ih~-(f{x). (38)
При этом операторами оказываются все канонические координаты и импульсы, а не только их поперечные (физические) части. Ввиду существования уравнений связей (20) подобное векторное пространство не поддается нормировке, а потому не является гильбертовым пространством.
Спрашивается теперь, как наличие связей изменит вид квантовой теории. При квантовании с использованием гильбертова пространства связи не представляют проблемы, так как исключаются из рассмотрения еще до квантования. Теперь же их приходится учитывать. Ho уравнения связей невозможно непосредственно рассматривать просто как операторные уравнения. Если бы мы это сделали, то пришли бы в противоречие с перестановочными соотношениями (38). Именно, ковариант-но дифференцируя обе стороны уравнения (37) по х'ь и имея в виду, что повсюду выполняется равенство = 0, мы должны будем тождественно приравнять нулю левую часть равенства, тогда как правая его часть будет отлична от нуля во многих точках пространства. Есть один способ избежать эту трудность: при описании физических состояний гравитационного поля следует пользоваться лишь такими элементами линейного векторного пространства г|э, которые удовлетворяют условиям
SVa^ = O (39)
и
= (40)
Можно показать, что при наложении подобных ограничений на векторы состояния квантовый вариант теории в соответствующем пределе переходит в ее классический вариант. При отсутствии же указанных ограничений Этого не происходит.
Квантование общей теории относительности 455
Чтобы получить законченную формулировку теории, нужно наложить дополнительные условия калибровки или координатные условия. Ho, так же как и в случае уравнений связей, эти условия нельзя рассматривать как операторные уравнения, а следует считать, что они справедливы лишь для подкласса векторов состояния,
Фиг. 14.5. Векторное пространство.
удовлетворяющих условиям (39) и (40). Поэтому подпространство исходного линейного векторного пространства, натянутое на векторы, удовлетворяющие этим условиям, в свою очередь разбивается на подпространства при наложении различных видов калибровочных или координатных условий. Мы изобразили схематически пространство всех векторов, определенных уравнениями (36) и (37), на фиг. 14.5. Область, покрытая частой штриховкой, изображает подпространство векторного пространства, векторы которого удовлетворяют условиям (39) и (40). Две меньшие области (с редкой штриховкой) изображают подпространства, в которых выполняются два различных набора координатных условий.
С тем же успехом можно нарисовать подобную схему и в классической теории, только тогда все пространство будет фазовым пространством с координатами А и р для grs и prs. В этом случае область с частой штриховкой будет изображать подпространство точек, удовлетворяющих уравнениям связей, а две меньшие обла-
