Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
(VAr) = O, [VA^j = O.
(26)
(27)
Аналогичным образом можно записать и р:
р = р? + рг.
Тогда уравнение (19) сведется к
Vpi + р==0.
(28)
Фиг. 14.3 Представление поля А при калибровочном преобразовании.
Фиг. 14.4. Схематическое изображение инвариантной сердцевины внутренней геометрии и окаймления, зависящего от выбора системы
координат.
29 Зак. 1740
450
Глава 14
от выбора системы координат. Сердцевина же остается без изменения при любом преобразовании координат.
Как и в случае электродинамики, хотелось бы выделить из grs и prs ту физическую часть, которая остается неизменной при преобразованиях координат. Степень трудности такого выделения зависит от вида уравнений связи. В случае электродинамики это выделение осуществлялось путем разделения А и р на продольные и поперечные части. Как мы видели, продольная часть р определяется однозначно уравнением связи (28). Вектор же Al может быть оттрансформирован путем выбора соответствующего условия калибровки.
Величины grs и prs удается разделить на части подобно тому, как это делалось в случае электродинамики. Ho лишние переменные все же затруднительно исключить из рассмотрения.
В лучшем случае удается довести это решение до конца методом приближений, основанным на предположении о слабом поле. Ho на сегодня, насколько мне известно, никому не удалось предложить схему разделения grs и рг\ в которой физическая часть поля не фигурировала бы в уравнениях связей, или схему, которая бы позволила непосредственно решить уравнения связей и выразить лишние переменные через другие — канонические — переменные теории.
Квантовый вариант теории
Обсудив вопрос о классической гамильтоновой формулировке общей теории относительности и электродинамики, мы можем теперь заняться квантовыми вариантами этих теорий. Я, как и прежде, буду часто обращаться к случаю электромагнетизма, поскольку картина здесь для нас ясна. В рамках гамильтонова формализма возможны два пути квантования обеих теорий. Наиболее прямой из них был использован Бергманом и Комаром [4] и Де-Виттом [5]. Он состоит в рассмотрении лишь физической части переменных поля как операторов,действующих в гильбертовом пространстве. Остальные переменные должны быть исключены из рассмотрения с
Квантование общей теории относительности
451
помощью уравнений связей и калибровочных или координатных условий. Тогда в случае электромагнетизма следует рассматривать как операторы лишь At и рт, а Pl заменить на —V (1 /V2) р. Задавшись определенной калибровкой (например, положив Al = O), можно получить гамильтониан, выраженный прямо через эти поперечные части поля. Тогда можно записать уравнение Шредингера. Наконец, из скобок Пуассона обычным образом следуют перестановочные соотношения для поперечных частей поля. Избрав представление, подобное ^-представлению обычной' квантовой механики, можно следующим образом определить операторы At и рт\
Агф = Агф, ргф = ih ф. (29)
6А
В этом случае векторы состояния должны зависеть от Ат.
Такой же метод был использован и в случае гравитационного поля, когда gTrJ и prsTT соответствуют поперечным частям канонических координат и импульсов1). Избирая представление, подобное записанному в уравнениях (29), возьмем
gVs cP = gTrlФ» PrsTTV = ih т4т Ф- (30)
0Srs
Векторы состояния зависят при этом от gJJ. Ho поскольку мы не смогли получить решение уравнения связей относительно хотя бы одной из четырех лишних переменных в замкнутом виде, то не располагаем и замкнутым выражением для гамильтониана, выраженного через gTrTs и prsTT. Поэтому мы вынуждены перейти к разложению для слабого поля. Это возвращает нас к линеаризованной теории, уже рассмотренной Фейнманом.
При таком подходе к квантованию возникает новая трудность. Изложенная схема выделения физической части поля никоим образом не однозначна ни в электродинамике, ни в теории гравитации. Можно построить
*) Cm. работу Г13] и другие работы этих же авторов, указанных в [13].
29*
452
Глава 14
разные схемы, позволяющие определять эту физическую часть многими различными способами. Так, в электродинамике можно выбрать калибровку, накладывая условия на отдельные компоненты вектора А. Остальные компоненты А сохранят тогда свою калибровочную инвариантность. Например, выбор калибровки может быть фиксирован требованием
При такой калибровке величины А2(*=?0) и А3(*=?0, уфО) являются калибровочно-инвариантными и могут быть использованы вместе с канонически сопряженными им импульсами для описания физического состояния электромагнитного поля. Такой способ описания, конечно, весьма сильно отличается от разобранного выше условия Al = O. Следовательно, в электродинамике существует множество способов выбора калибровки. При каждой такой калибровке мы получаем новый набор выражений, играющих роль физических переменных.
В общей теории относительности положение совершенно аналогично. Как только мы определяем координаты с помощью соответствующих условий, наложенных на gr8 и Prsi остальные переменные автоматически становятся инвариантными относительно координатных преобразований и могут служить физическими переменными. Обычно их называют тогда наблюдаемыми. Интересно, эквивалентен ли один вариант квантовой теории, в котором используется один набор наблюдаемых, другому варианту, в котором используется другой набор. Я хотел бы охарактеризовать некоторые трудности, возникающие при попытке ответить на этот вопрос.
