Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Гамильтонова формулировка общей теории относительности содержит в силу общей ковариантности теории еще и другую трудность. Дифференцируя плотность лагранжиана гравитационного поля по можно построить плотность канонического импульса р^av, сопряженную ПО отношению K guv'.
Pilv = jf-' (5)
dSiXV
Использованная здесь плотность лагранжиана J3? не равна Y—S & н0 отличается от этой величины на частную дивергенцию выбранную так, чтобы новая плотность лагранжиана не зависела от вторых производных
Квантование общей теории относительности 443
метрики. Ясно, что оба лагранжиана приводят к одним и тем же уравнениям поля метрического тензора. Таким образом, величина pw является точно определенной функцией gtiv и производных по пространственным координатам:
^p)- (в)
Из ковариантности теории следует, однако, что канонические переменные и не являются независимыми, но подчинены четырем уравнениям связей, именуемым первичными связями и имеющим вид
= (7)
Поэтому оказывается, что уравнения (6) невозможно обратить, чтобы однозначно выразить величины gчерез р^ и gpy. Таким образом, при попытке получить плотность гамильтониана &€ по правилу
^ = я(**• ip) (8)
оказывается невозможным исключить величины gap в
правой части (8), а значит, и получить &в как функцию
одних только канонических переменных. Это одна из главных проблем, с которыми столкнулись теоретики при формулировке гамильтонова формализма в общей теории относительности. Она была различными способами решена Пирани и Шилдом [11] и Дираком [12].
В электродинамике наблюдается та же самая картина, но там все выглядит проще. Электромагнитное поле описывается векторным потенциалом А и скалярным потенциалом ф, а также переменными, характери-
зующими поля частиц (например, поле Дирака). Эта теория инвариантна относительно группы преобразований калибровки
A = A — VA, (9)
и
ф = ф4-1, (10)
где X— произвольная функция пространственных координат и времени.
444
Глава 14
В общей теории относительности подобная группа определяется четырьмя функциями — это четыре новые координаты, представленные как функции старых координат. В электродинамике же имеется всего одна произвольная функция, но многие следствия в обеих теориях совпадают. Таким образом, на основании тех же соображений, что и в случае общей теории относительности, мы можем прийти к выводу, что задания начальных значений переменных поля А и ф вместе с их первыми производными по времени недостаточно, чтобы получить единственное решение, определяющее поведение системы в будущем. Поэтому все наши выводы о гамильтоновой формулировке общей теории относительности в полной мере применимы и здесь.
В электродинамике плотность лагранжиана имеет вид
^ = l(A + Vcp)2-I[VAp-p<p + j.A. (11)
Определяя плотность канонического импульса р, сопряженного А, как производную по А, получаем
P = A +Уф. (12)
Заметим, однако, что не зависит от ф, так что я — импульс, сопряженный ф, удовлетворяет уравнению
Jt = O. (13)
Это и есть уравнение первичной связи, вытекающее из калибровочной вариантности теории и аналогичное уравнениям первичных связей (7). Здесь непосредственно видно, что величину ф невозможно выразить через плотности канонических импульсов. Величины же А выражаются через канонические переменные, и мы получим гамильтониан H в виде
H — j Stf d3x, (14)
где его плотность равна
96=І P2 + 7 IvaI2 - j • А+ф (vP+Р)+фл. (15)
Квантование общей теории относительности 445
В данном выражении величина ф рассматривается как некоторая произвольная функция пространственных и временной координат. Ее наличие в гамильтониане отражает его неоднозначность, неизбежную в том случае, если канонические уравнения движения не определяют однозначно канонические переменные через их начальные значения.
К сожалению, дело этим не ограничивается. Имеется и другое уравнение связи, вытекающее из требования,
чтобы я равнялось нулю и, следовательно, равенство
(13) выполнялось на протяжении всей эволюции физической системы. Производная по времени от я находится, как обычно, путем взятия скобок Пуассона для я и Н. Это дает
я = (я, //) = Vp-|-p, (16)
откуда получаем требование
Vp+ р = 0. (17)
Это не что иное, как одно из уравнений Максвелла, ибо р равно —Е, т. е. напряженности электрического поля. Уравнение (17) называется уравнением вторичной связи. Все высшие производные я по времени и все производные по времени от Vp + р равны нулю, так что никаких связей сверх уже упомянутых в теории не появляется.
Перевод общей теории относительности на язык гамильтонова формализма производится аналогичным образом. Ho ввиду сложности уравнений первичных связей (7) окончательные выражения для гамильтониана и вторичных связей оказываются практически бесполезными. Лишь недавно Дираку, Де-Витту и мне — всем независимо друг от друга — удалось ввести в теорию новый набор канонических переменных таким образом, что новые уравнения первичных связей приняли простой вид
//* = 0. (18)
