Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
1J Фейнман сообщил об этом в неопубликованной лекции, прочитанной 24 сентября 1963 г. в Университете Йешива. [Первые работы в этом направлении были выполнены в СССР задолго до работ Фейнмана, причем был получен из квантовых соображений один из эффектов общей теории относительности (CM. И. П и й р, Труды института физики и астрономии АН Эст. ССР, 5, 41 (1957);
Н. В. Мицкевич, ЖЭТФ, 34, 1656 (1958). — Прим. перев.]
Квантование общей теории относительности 439
допустить возможность отклонения топологии от евклидовой вблизи элементарных частиц, то гравитационное поле уже нельзя рассматривать как слабое. Тогда оказывается, что никакого приемлемого приближения первого порядка не существует, и мы приходим к необходимости производить квантование всей полной теории.
Квантование гравитационного поля необходимо и пс другим соображениям. Считается, что все частицы являются источниками гравитлционного поля. Если бы их гравитационные поля были по-настоящему классическими, то, одновременно измеряя все компоненты таких полей, можно было бы определить сразу и координаты и скорости частиц, нарушив тем самым принцип неопределенности. Следовательно, гравитационное поле не может быть классическим, но должно флуктуировать так, чтобы не было противоречия с принципами квантовой физики.
С точки зрения Паули, такие флуктуации гравитационного поля могут сгладить световой конус. В свою очередь это обстоятельство может в принципе привести к появлению обрезания в теории. Ho было бы рано говорить, что все вышеизложенные предположения соответствуют действительности.
Процедура квантования
Уравнения общей теории относительности обычно выводятся из принципа действия, о котором уже говорилось в гл. 4:
S = f RV=gd*x. (I)
Ho, как было сказано выше, такая формулировка неудобна с точки зрения квантования, и более желательно использование гамильтонова формализма. Таким образом, при квантовании гравитационного поля в первую очередь необходимо привести общую теорию относительности к гамильтоновой форме; иначе говоря, требуется определить гамильтониан данной теории, найти соответствующие канонические переменные И ПОЛУЧИТЬ
440
Глава 14
собственные решения, применяя обычные перестановочные соотношения. Однако проблема гамильтоновой формулировки этой теории уже сама по себе является трудной задачей в силу общей ковариантности теории.
Гамильтонова формулировка общей теории относительности
Для системы, которая описывается каноническими переменными qi и ри уравнения Гамильтона имеют вид
дН • дИ /оч
^=W1 и Pi==~wr (2)
где гамильтониан H является функцией всех q и р.
Если заданы начальные значения qi и pit то с помощью уравнений (2) можно алгебраически выразить через них первые производные канонических переменных по времени. Путем последовательного дифференцирования можно выразить через начальные значения и все высшие производные. Поэтому представляется возможным разложить решение qi{t) в степенной ряд около значения t = tQ:
#/(0 = ^/0 + ^/0^ + ••• = +^rj *+•••> (3)
и точно так же
Pi (0 = PiO + Pid + • • • — Pio - *+•••• (4)
Таким образом, в обычной гамильтоновой формулировке теории, задавая начальные значения всех q и р, мы однозначно определяем значения этих переменных во все последующие моменты времени. Ho в общей теории относительности это невозможно, и вот почему. Предположим, что заданными в начальный момент значениями всех десяти компонент метрики и всех их первых. производных по времени на основании уравнений поля однозначно определяется поведение метрики в будущем. Схематически это показано на фиг. 14.1, где метрика представлена как функция времени. По оси
Фиг 14.1. Схематическое изображение зависимости компонент метрики от времени.
Метрика после Первоначальная преобразования метрика
Фиг. 14.2. Схематическое изображение зависимости компонент метрики от времени при поеобразовании координат, которое само зависит от времени.
442
Глава 14
абсцисс схематически откладывается функциональное пространство метрики.
Мы можем произвести преобразование координат, ничего не изменяющее вплоть до момента времени и>и, но в более поздние моменты отличающееся от тождественного преобразования. Такое преобразование допустимо, так как его коэффициенты будут дифференцируемы до любого наперед заданного порядка. Мы получим тогда метрику, которая будет представляться новым решением уравнений поля, отличным от предыдущего и отвечающим тем же начальным значениям. Ясно, что эти два решения соответствуют не двум различным физическим ситуациям, а одной и той же, но представленной в двух различных системах координат. Результат такого преобразования изображен на фиг. 14.2, где график преобразованной метрики наложен на исходный график. Область, в которой графики перекрываются, изображает ту часть метрики, которая описывает данную физическую ситуацию и не изменяется при преобразовании координат.
Изложенное нами позволяет заключить, что уравнения поля не определяют однозначно изменения метрики во времени. В гамильтоновой формулировке теории такая неоднозначность отражается в неоднозначности функции Гамильтона. Если бы последняя была определена однозначно, то для метрики, конечно, имелось бы лишь единственное решение типа (3) и (4).
