Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
В произвольных координатах обобщенное условие Лоренца имеет вид
а уравнения (30) при учете правила изменения порядка ковариантного дифференцирования принимают вид
Здесь /?*iv — снова тензор Риччи. Поэтому можно считать, что электродинамика весьма естественно вписывается в рамки общей теории относительности. Ho Эйнштейну казалось, что этого недостаточно. Ввиду успеха геометрического истолкования гравитации он полагал, что, возможно, удастся геометризировать и электромагнетизм.
Стремление к геометризации объясняется отчасти тем, что в общей теории относительности гравитационные силы полностью выражаются через геометрию пространства. Ho в присутствии электромагнитных сил бес-спиновые частицы, если они несут заряд, уже не движутся по геодезическим.
Долгое время считалось, что частичная геометризация гравитации и электромагнитного поля в отсутствие зарядов может быть осуществлена путем исключения максвелловского тензора напряженности [7, 8] из системы уравнений Максвелла — Эйнштейна. Это оказы-
(32)
(33)
(34)
384
Глава 11
вается возможным благодаря наличию у тензора энергии поля Максвелла некоторых весьма специальных свойств, а именно:
Taa = O.
-га V I XvTn Tl0P
1 ц! OL= 4" 0M а|Зу >
Т'оо > 0.
Из указанных соотношений следуют уравнен
R = О,
ЯШ = т
V *°т*„ У. а V *а,*°Т
Метрика, удовлетворяющая этим уравнениям, имеет в качестве источника тензор энергии — импульса — натяжений поля, .удовлетворяющего уравнениям Максвелла. Как показали Виттен [9] и независимо от него Пенроз, необходимые для интегрирования этих уравнений условия Коши могут отвечать одновременно более чем одному полю максвелловского типа. Таким образом, данный метод описания является (неоднозначным, и тензор энергии Максвелла невозможно исключить, не отбрасывая, по крайней мере частично, физического содержания теории.
Попытки проведения полной геометризации [10] теории растянулись на многие годы. Когда эта проблема только появилась, думали, что вся физика сводится к гравитации и электромагнетизму. Теперь же геометризация должна была бы касаться и квантовых эффектов, равно как сильных и слабых взаимодействий. Исключительная трудность решения такой проблемы привела к тому, что ее забросили все, за исключением очень немногих математиков и физиков.
ля
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
Гравитация и свет
385
Квантование системы взаимодействующих полей Максвелла — Эйнштейна
Как электродинамику, так и теорию гравитации можно представить в гамильтоновой форме и проводить квантование методом приближений [11]. В случае слабого поля
S1IV = 6HV + V (41)
Пространственные значения индексов 1, 2 и 3 мы будем обозначать латинскими буквами. Можно выбрать такую систему координат, что
^110=V (42)
В этих предположениях гамильтониан системы взаимодействующих полей Эйнштейна — Максвелла может быть приближенно записан как
н = Ha +Hm + J (у ArsTirTi5 — 2huFmlFdj!)md^ d*x. (43)
Здесь Hg содержит лишь канонические координаты (полевые переменные) и импульсы гравитационного поля, тогда как Hm содержит лишь полевые переменные (канонические координаты) максвелловского поля Ak и канонические импульсы r\k. Рассмотрим в уравнении (43)
Фиг. 11.3. Распад фотона на фотон и гравитон.
члены взаимодействия при квантовании теории. Эти члены имеют вид сумм произведений, в каждом из которых содержится один оператор гравитационного поля и два оператора поля Максвелла. Подобный вид взаимодействия означает, что фотон может распасться на новый
25 Зак. 1740
386
Глава 11
фотон и гравитон (фиг. 11.3). Детальный анализ такого процесса показывает, что матричные элементы в этом случае отличны от нуля, если только все три частицы не движутся в одном и том же направлении. Ho массы покоя всех трех частиц равны нулю, и закон сохранения энергии и импульса может точно выполняться только тогда, когда все частицы движутся в одном направлении. Поэтому такой процесс невозможен, разве что при исключительно высоких энергиях, при которых закон сохранения энергии может несколько нарушаться. Это энергии, намного превышающие IO28 эв. Поэтому такого рода процессами нельзя объяснить красного смещения частоты света внегалактических объектов как «усталость света» при весьма длительном путешествии фотонов.
Дальнейшее исследование этого взаимодействия показывает, что гравитоны могут возникать при прохождении фотонов в кулоновском или статическом магнитном поле. Ho соответствующие эффективные сечения ни-чтожіно малы. Для кулоновского рассеивателя, содержащего однородное электрическое или магнитное поле,
линейные размеры которого превышают длину волны падающего фотона, эффективное сечение этого процесса равно
с Sn2GUl /ЛЛ>.
S =—77—. (44)
Здесь U — энергия рассеивателя, а / — его протяженность © направлении распространения фотона. В лабораторных условиях это сечение оказывается слишком малым —для I м3 рассеивателя, содержащего IO15 эрг электрической энергии, сечение S^lO-30 см2. Для галактики, обладающей магнитным полем ~10-6 э, эффективное сечение должно составлять ~ IO-28 см2, так что в результате указанного процесса превращаться в гравитон будет один из IO16 попадающих в нее фотонов. Отметим, что в выражение (44) не входит постоянная Планка. Таким образом, формула (44) выражает тот факт, что взаимодействие двух бозе-полей существует » классическом пределе.
