Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
влияет присутствие масс. Движение бесспиновых ча-
стиц, испытывающих гравитационное взаимодействие, дается геодезическими линиями. Поэтому полагали, что общая теория относительности принципиально отличается от теории электромагнетизма. Ho за последние годы эта точка зрения несколько изменилась.
Общий анализ теорий поля обнаруживает взаимосвязь между спином частиц и рангом тензора, описывающего данное поле. В случае электромагнитного поля фотон обладает спином 1, причем используется четырехмерный вектор-потенциал. Паули и Фирц [3] показали, что поле, описываемое симметричным тензором второго ранга, должно подчиняться релятивистским волновым уравнениям для частиц со спином 2. Это основано на том, что частица со спином 2 может иметь пять квантованных ориентаций спина. Кроме того, состояниям частицы и античастицы соответствует энергия противопо-
380
Глава 11
ложного знака. Итак, у волновой функции частицы со спином 2 должно быть десять компонент, что соответствует числу компонент симметричного тензора второго ранга. Этот ©опрос рассматривался в другой связи в гл. 5.
Паули и Фирц показали также, что релятивистские волновые уравнения для свободной частицы со спином 2 и нулевой массой покоя имеют вид
? Uliv = O, (17)
где U1HV—симметричный тензор второго ранга, и что должно выполняться дополнительное условие
(/!1V = O (18)
(в этом разделе мы поднимаем и опускаем индексы с помощью лоренцовой метрики 6^v). Предположим теперь, что допускаются взаимодействия. Последние можно представить тензором 0^* Тогда уравнения поля с учетом взаимодействий примут вид
? ^lLiv = ?9|HV, (19)
где k—константа связи. Из дополнительного условия (18) теперь следует, что
е^ = 0. (20)
Так как тензор энергии — импульса — натяжений вещества 7ар удовлетворяет уравнению (20), то можно было бы связать Taр с Ojliv. Тензор энергии должен появляться при построении теории гравитации именно потому, что натяжения и энергия являются источниками гравитационного поля. Ho и само гравитационное поле также должно создавать и натяжения, и энергию. Обозначим этот вклад через tТогда уравнения поля примут вид
СИ = k (Tviv -f- ^inv)* (21)
При Tvlv=0 получаются уравнения для поля в пустоте
? Uvlv = Htviv. (21а)
Попытаемся теперь получить уравнения (21а) из вариационного принципа. Построим сначала плотность лангранжиана L для нашего поля. Метод построения
Гравитация и свет
381
лагранжианов излагается в обычных учебниках по теории поля [4]. Плотность лагранжиана свободного поля тогда должна быть равна
?=-4ед/д", (22)
и принцип действия приводит к уравнениям поля д dL dL __Q
дха dU»l OUiiv ' У >
Величина, построенная из L и удовлетворяющая закону сохранения ^1V==O, равна [5]
tl = liL-U«-^=U*U?—(24)
Из (22) и (23) следуют уравнения поля
OUtn = O, (25)
не учитывающие взаимодействия поля с самим собой, соответствующего уравнениям (21а). Уравнения (21а) можно получить, добавляя к плотности лагранжиана (22) новый член fx:
L' = -\U^U? + U. (26)
Новый член f, в лагранжиане (26) приводит к новому выражению для которое мы обозначим через » так что должно быть
? = ^v. (216)
Чтобы получить из принципа действия уравнения (216), к выражению (26) нужно добавить слагаемое но это
приведет к гц и, следовательно, к новым уравнениям поля
пи^ = ^\ (21 в)
Продолжая так и дальше, мы получим плотность лагранжиана в виде бесконечного ряда слагаемых. Это проделал Гупта [6] и нашел, что плотность лагранжиана в виде бесконечного ряда, конечно, равна скалярной
382
Глава 11
кривизне, т. е. именно том> выражению, которое следует взять для вывода уравнений общей теории относительности из принципа действия.
Повторим, что уравнения общей теории относительности могут быть получены на основании тех же общих соображений, что и уравнения других полей. Разница состоит лишь в том, что здесь мы имеем дело с частицами со спином 2 и в качестве источника гравитационного поля берем энергию. Ho гравитационное поле само создает часть энергии, также являющейся его источником. Это ведет к нелинейности и к выражению плотности лагранжиана в виде бесконечного ряда, из которого можно получить скалярную кривизну.
Запись теории электромагнетизма в произвольных координатах и геометризация электродинамики
Электродинамика описывается четырехмерным потенциалом, который подчиняется в лоренцовых системах уравнениям (14) и (15). Тензор напряженности Fvlv имеет вид
(в этом разделе мы поднимаем и опускаем индексы с помощью метрического тензора g^v и обратного ему#*4*). Уравнения (29) тождественно выполняются для всех F11X, определенных через четырехмерный потенциал в соответствии с (27), так как (VfVA]) тождественно равняется нулю. В произвольных координатах уравнения
(28) принимают вид
(27)
(28)
(29)
(30)
Точка с запятой означает ковариантное дифференцирование.
Гравитация и свет
383
Уравнение (29) можно привести к виду
И* (-Sr1^aeU = O.
(31)
Здесь Ea^v6 — тензорная плотность Леви-Чивита, для которой е0123= 1 и которая меняет знак при перестановке любой пары индексов, обращаясь в нуль при совпадении двух или более индексов; g— детерминант gИз обычной формулы для ковариантной дивергенции антисимметричного тензора следует, что уравнения (29). сохраняют силу в произвольных координатах. Эти же формулы ковариантного дифференцирования дают
