Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Релятивистское отклонение луча света
Уравнение геодезической имеет вид
Л2У , г>у dx*1 dx° л г
В случае света интервал всегда равен нулю, и 5 следует считать параметром, изменяющимся вдоль траектории
376
Глава 11
фотона1). Можно взять s=x° = ct. Через Tpv обозначен символ Кристоффеля второго рода. В изотропных координатах и в низшем порядке учета отклонения элемента кривой от его формы в теории Минковского ds2 можно записать в виде
- ds2» (1 + (dx2 + dtf + dz2) - (1 C2 dt2.
(6)
Для такой метрики Го* = 0, и при указанном выше выборе параметра 5 в случае света, распространяющегося вдоль оси X1 dx°/ds=l и dxjds= I. С хорошей степенью точности уравнению (5) можно придать вид
-0+r&+rL=o. (7)
Мы пренебрегли здесь членами, содержащими «/-компоненту скорости ввиду ее малости. Из определения символа Tpv и из уравнения (6) следует
у I dg00 _ GM dr _ GMy
00 2 ду г2с* ду с2 (х* + у2)3/2 ’ ' '
ру _ I dgxx _ GM dr __ GMy
хх~~ 2 ду ~~ г2с2 ду ~ с2 (*2 -f y2f2 ’ ' ’
где дг/ду = у/г. Теперь можно вычислить величину отклонения светового луча центральной массой:
0 =
Легко видеть, откуда появляется дополнительный множитель 2. Полное отклонение складывается из двух равных величин Ty00 и Yyxx4 каждая из которых по отдельности равна правой части уравнения (I). В классической же теории учитывается лишь один член, а именно Гоо. При малых скоростях dx/ds~vlc и TyxxV2 Пос2, но при V = C оба слагаемых становятся в точности равными друг другу, т. е. фотон ведет себя так, как будто его гравитационная масса вдвое превышает инертную.
1) Канонический параметр. — Прим. ред,
Гравитация и свет
377
Влияние спина фотона
Хотя в уравнении (2) и учтен релятивистский эффект, но мы еще не учли действия спина фотона. Уравнения движения вращающихся тел и частиц со спином несколько отличаются от уравнений движения бесспи-новых частиц. Я приведу здесь лишь результаты [2]. Когда спин фотона перпендикулярен направлению его движения, угол отклонения луча равен
где X— длина волны фотона. В случае когда спин фотона параллелен направлению движения, дополнительный член Х/R следует отбросить. Из квантовой теории поля мы знаем, однако, что спин частицы с нулевой массой покоя может быть либо параллельным, либо анти-параллельным направлению ее движения — такая частица обладает лишь двумя возможными спиновыми состояниями: полным спином, направленным вперед, и полным спином, направленным назад. Ввиду этого обстоятельства спиновый эффект исчезает.
Гравитационное красное смещение
Эффект гравитационного красного смещения частоты света уже не раз обсуждался. Ho ради полноты я все же кратко на нем остановлюсь. Для отклонения луча света в поле Солнца наивные представления ньютоновской механики не дают правильного результата даже в первом приближении, в котором эта механика справедлива. Что же касается красного смещения, то в этом случае в первом порядке правильный результат получается уже при самом примитивном подходе, когда учитывается лишь принцип эквивалентности и закон допплеровского смещения.
Принцип эквивалентности утверждает, что в случае локальных наблюдений влияние однородного гравитационного поля неотличимо от влияния эквивалентного ему поля равномерного ускорения.
(H)
378
Глава 11
На фиг. 11.2 изображен атом, излучающий в точке А фотон с частотой v. В некоторый более поздний момент t=l/c, где /— расстояние между наблюдателем и атомом, наблюдатель в точке В в эквивалентной ускоренной
Гравитационное поле Атом А
а
{
о В
Поле ускорения Наблюдатель
Фиг. 11.2. Эквивалентность однородного гравитационного поля и поля равномерного ускорения.
Эффект Допплера в первом порядке дает гравитационное красное смещение.
системе отсчета наблюдает этот фотон. За промежуток времени t наблюдатель подвергся ускорению g и в конце этого промежутка приобрел скорость
v — gt==g у. (12)
С точки зрения гравитации мы называем следующий отсюда эффект красным смещением, а с точки зрения наблюдателя в ускоренной системе отсчета — эффектом Допплера. Таким образом, изменение частоты света составит
Av = -v(g l)i = _v^. (13)
Здесь Acp — изменение гравитационного потенциала, т. е. разность значений этого потенциала в месте нахождения наблюдателя и в месте нахождения излучающего атома. Уравнение (13) и есть выражение для гравитационного красного смещения в первом порядке.
Гравитация и свет
379
Сравнение теории Максвелла и теории Эйнштейна
В частной теории относительности уравнения Максвелла имеют вид
ClAl = -у^, (14)
где All — четырехмерный потенциал, а /ц — вектор плотности тока. С уравнением (14) связано дополнительное условие
4V = 0, (15)
называемое калибровочным условием Лоренца. С другой стороны, мы имеем уравнения Эйнштейна
~ T (16)
Эти две системы уравнений— (14) и (16) — кажутся совершенно различными. В классической теории электромагнетизма уравнения (14) описывают электромагнитное поле в координатах Минковского. Заряды и поля в теории Максвелла существуют и изменяются в плоском пространстве. В общей теории относительности гравитационное поле является свойством пространства и определяется геометрией этого пространства. На геометрию
