Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Поле Шварцшильда является точным решением полевых уравнений Энштейна, обладающим следующими свойствами:
1) оно не зависит от времени (является статическим);
2) оно сферически симметрично относительно своего центра;
3) его действие уже на небольших расстояниях сводится к закону всемирного тяготения Ньютона;
4) на больших расстояних пространство становится а-симіптотически плоским.
В так называемых изотропных координатах г\ 0, ф и t квадрат интервала для решения Шварцшильда имеет вид
(l -h(Clrft+r'2Cfe2 + г'* sin2 0</ф2) —
(3)
Введение
31
где т* — «геометризованная масса», связанная с обыкновенной массой т соотношением
В приближении слабого поля, когда т*/2г'<^\, величину г’ можно заменить некоторым выражением, содержащим радиальную координату г, и разложить коэффициенты в выражении для квадрата интервала по степеням т*/г:
Изотропные координаты г', 0, ф и / связаны со сферическими (которыми пользовался и сам Шварц-шильд) г, 0, ф и / следующим образом:
r = r'{\ + -gp-)2, г' = у(у72 — 2т*г г — т*), (6)
В предельном случае слабого поля обе системы координат переходят в обычную трехмерную сферическую систему.
Для решения Шварцшильда коэффициенты a, P и у в выражении (5) имеют единичные значения. Другие теории тяготения могут привести к аналогичным разложениям квадрата интервала, причем указанные коэффициенты будут уже отличаться от единицы. Шифф [13] и Робертсон [14] подошли к анализу возможностей экспериментального подтверждения решения Шварцшильда именно с этой стороны.
В общей теории относительности равенство величины а единице определяется тем требованием, чтобы из выражения (3), т. е. из теории Эйнштейна, вытекала ньютонова напряженность гравитационного поля, обратно пропорциональная квадрату расстояния. Этот же член ответствен за гравитационное красное смещение. Различие в ходе часов, а значит, и в частотах атомных
+ (l+-^ . ..)</г2 + г2<Л22. (5)
0 = 0, ф = ф, t — t.
32
Введение
спектров на различных расстояниях от материальной точки равно
- = (7)
V ГС2 х 7
Угол, на который отклоняется луч света, проходящий вблизи диска Солнца, равен
0 = 2 (a + Y) = 0,875" (о + у). (8)
В теории Эйнштейна а=у=1, так чт0
0=1,75". (9)
Значение а вытекает из сравнения с законом всемирного тяготения Ньютона, а также может быть выведено из принципа эквивалентности и результатов наблюдения гравитационного красного смещения. Шифф [15] указал также, что из принципа эквивалентности в плоском пространстве следует отклонение лучей света (величина которого зависит от у). Этот вывод требует, однако, дополнительных предположений о связи между пространственно разделенными ускоренными системами координат, что не следует из опыта Этвёша. По крайней мере в одном случае [16] была показана возможность построения теории, удовлетворяющей принципу эквивалентности и предсказывающей отличную от вытекающей из общей теории относительности величину отклонения лучей света. В этом случае — в теории Дикке и Б’рэнса — величина отклонения лучей света равна
3-f-2w 4Gmcs 0= 4 + 2ш R0C* ’ (10)
где <0 — константа взаимодействия скалярного поля. Из наблюдений поворота перигелия Меркурия для нее следует значение, большее 6.
Теоретическую величину поворота перигелия планеты в общей теории относительности также можно выразить через коэффициенты a, P и Y- Тогда этот поворот оказывается равным 2a(a+y) —Pc точностью до геометрического множителя, зависящего от выбора конкретной орбиты.
Введение
33
Из трех указанных эффектов до создания теории относительности наблюдался только поворот перигелия Меркурия. Неправильность орбиты Меркурия уже начиная с середины XIX века ставила в тупик астрономов. В 1859 г. Леверье [17] отметил, что необъясненный поворот перигелия Меркурия (по сравнению с данными теории) составляет около 39" в столетие. Четвертью века позже Ньюкомб [18] нашел, что величина этого расхождения равна 43" в столетие. Современные наиболее полные исследования Клеменса [19] дают величину, равную (42,9±0,2)" в столетие1). В то же время общая теория относительности предсказывает вековой поворот, равный 43,03".
Совпадение этих данных является сейчас лучшим подтверждением общей теории относительности — как благодаря весьма показательному согласию наблюдений и теории, так и ввиду того, что теоретическое предсказание эффекта поворота перигелия в противоположность двум другим эффектам основывается сразу на двух обстоятельствах: на учете действия гравитации при измерении длины и времени с точностью до члена, пропорционального квадрату массы, и на использовании уравнений движения материальной точки, имеющих уже иной вид в общей теории относительности. Поэтому особенно важно было подтвердить этот результат и с достоверностью узнать, что вычисленные геометрические и динамические поправки, составляющие вместе около 5600" в столетие, не содержат систематической ошибки.
К сожалению, случай Меркурия единственный. Иначе говоря, все зависит от изучения движения (релятивистского поворота перигелия) одной-единственной планеты. Ввиду необходимости учета множества поправок, которые могут содержать систематические ошибки, было бы неосмотрительно придавать этим измерениям такое большое значение, какое они имели бы при наличии лишь случайных ошибок, пока не получен незави-
