Отрывные течения. Том 1 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
ОТРЫВ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА ЖИДКОСТИ
167
Фо-йз + 2ф1#2+ ф2й\ = Е [ - (фо^г - 2ф1^1 + Фгё'оЧ- АН2) +
+ 5Н! { - фо^! - ф^о - АНi} +
(13)
+ (5 Я 2+25Я?) { - фо?о ~А{Н 0-1,4)}],
g - ^(Яо-М).
Если начальные значения берутся в точке перехода, то Нх - 0 и уравнения
(12) принимают вид
<Pi = -jT-? - *Фо?о,
ф2 = - к (cpogi -)- Ф^0)5
7 (12а)
Фз = -к (фоg2 + 2фigi + ф2^о) ~ ц- 4ogoH2,
'Ч^+тН'8-!3?-
а уравнения (13) записываются в виде Я,= 0,
Фо-Й 2 = - Е ( (fogi + Ф1^о) ! (13ач
Фо-й3 + 2ф1й2= -Е (фо^2 + 2ф1^1 + ф2ёго + -'4й2), Е = e_(Pogo/A.
Если переход начинается в точке максимума скорости, то уравнения (12а) и
(13а) существенно упрощаются и в результате
Ф1 = 0,007623, Ф2 = 3,8ф0?1, ф3 = 3,8(ф0?2 + 2ф1?1), (126)
#1 = 0, H2=-gu H3=-g2 + -^gl, (136)
где А = 0,0135.
Теперь для численного интегрирования нужно знать величины dQ'fdx и с
(dHldx) через равные промежутки х!с. Для вычисления этих величин Гарнер
использовал уравнения Й0' . . s2 ,
-faT - Ф1 + T2S + Фз ~2Г I- • • * '
с in=Hi+HzsJrII*~i\ + • • • •
Чтобы получить численные решения, составляется таблица разностей для
dQ'/dx и с (dHldx), включающая, при необходимости, разности третьего и
четвертого порядков.
Принимая
с ~^r - qn и Н = Н(п), находим
X
с
-(4). + "(Ат)
168
ГЛАВА IV
И
Яо А1?о
Я1 ДДц Д2?0 Д39о
Яг А1?2 Д2?! Д3?1
Яз А1?" Д2?2
Составляется интерполяционная формула
. . А1 . К(К + 1) *2 I (^+2) ,
?"¦*. = ?4 + + 2г q-+ 31 qi +
, Х(Х+1)(Х+2)(Х + 3) л'4_
п 41--------л ?о-
Теперь Н (4 + г) = Н (4) -+- | (z/c) с пределами интегри-
рования от
т-(т).+*(Ч)
ДО
7"(т)" + <4+г)(дт)-
т. е.
г
Я(4 + г) = Я(4)+(Д-^) [?4+яЙЯ. = Я(4) +
о
+ (А у) {^4 + 4-г2А1?3+^Г(2г+ 3) А2?2 +
+ ^г2(г + 2)2Д3?1+...}. (14)
Для удобства коэффициенты уравнения (14) для ряда значений г представлены
в табл. 1.
Таблица 1 [23]
г i/г га 1/1аг(2г+3) 1/24 Г2 X X (г+2)2 г i/г га
1/12г(2г+3) 1/24 Г2 (г+2)2
0,125 0,00781 0,03385 0,00294 0,8 0,32 0,30667
0,20907
0,2 0,02 0,05667 0,00807 0,875 0,38281 0,34635
0,26368
0,25 0,03125 0,07292 0,01318 1,0 0,5 0,41667 0,375
0,375 0,07031 0,11719 0,03305 1,125 0,63281 0,49219
0,51498
0,4 0,08 0,12667 0,0384 1,25 0,78125 0,57292
0,68766
0,5 0,125 0,16667 0,06510 1,50 1,125 0,75 1,14844
0,6 0,18 0,21 0,1014 2,0 2,0 1,16667 2,66667
0,625 0,19531 0,22135 0,11215 2,5 3,125 1,66667
5,27344
0,75 0,28125 0,28125 0,17725
ОТРЫВ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА ЖИДКОСТИ
169
Далее
Я(5) = Я (4)+(д -J) (д4 + 1д1д, + Ад^2 + |дзд1+ .
(15)
Применяя тот же метод для определения dHldx, найдем значение 07с в точке
7=(т)"+5(Ат)
из уравнения, аналогичного (15).
Затем из (8) и (9) находятся значения dQ'/dz и dHldx в точке
4=(Н.+ЧА4)
Теперь, чтобы вычислить значения 07с и Я в точке
4=Шо+6И)-
таблица разностей расширяется и т. д.
Подробнее численный метод изложен в книге Уайтекера и Робинсона [261.
Недостатком применения линейной интерполяции при численном интегрировании
является ограничение на длину шага (определяемую требуемой точностью) и
возрастающая трудоемкость составления таблицы разностей. Однако если
значений dHIdx и с (dHldx) достаточно для составления новых таблиц
разностей, то для ускорения счета интервал Д (х/с) может быть удвоен. На
следующих примерах показаны способы удвоения интервала. Предположим, что
параметр Я(8) уже вычислен и требуется увеличить интервал от {Д (х/с)) до
2{Д (х/с)}. Я(10) можно найти двумя способами:
а. Используя уравнение (14) и полагая г = 2. Тогда
Я(10) = Я(8) + (Д|) {2д8 + 2Д1д7Ч-|А^ + 4А3д5-Ь...} .
б. Составляя новую таблицу разностей, в которой q'n - q2n. Тогда
Я(10)=я(8)+(2д^){д;+1д^+^д2д;+|дзд;+...}.
Если результаты, полученные способами "а" и "б", совпадают, то интервал
можно удвоить. В случае дробного приращения интервала путем подбора
соответствующего значения г по уравнению, аналогичному (14), выполняется
вычисление на первом шаге с новым интервалом. Однако, чтобы составить
новую таблицу разностей, должны быть известны значения dHIdx и с (dHldx)
170
ГЛАВА IV
для нескольких дополнительных значений х!с. Их можно получить путем
интерполяции.
Так как в уравнения (8) и (9) входит Н, их решение упрощается при
использовании табл. 2.
Таблица 2 [23]
я 7/б (Я+ +13/,) 1,35 (Я--1,4) е 5 (Я-1,4) я 7/б'(Я+ +13/7)
1,35 (Я--1,4) е 5 (Я-1,4)
1,40 3,80000 0 1 1,52 3,94000 0,1620 1,82212
1,40125 3,80146 0,00169 1,00627 1,53 3,95167 0,1755
1,91554
1,4025 3,80292 0,00337 1,01258 1,54 3,96333 0,1890
2,01375
1,40375 3,80437 0,00506 1,01892 1,55 3,97500 0,2025
2,11700
1,405 3,80583 0,00675 1,02531 1,56 3,98667 0,2160
2,22554
1,4075 3,80875 0,01012 1,03821 1,57 3,99833 0,2295
2,33964
1,41 3,81167 0,01350 1,05127 1,58 4,01000 0,2430
2,45960
1,4125 3,81458 0,01687 1,06449 1,59 4,02167 0,2565
2,58571
1,415 3,81750 0,02025 1,07788 1,60 4,03333 0,270 2,71828
1,4175 3,82042 0,02362 1,09144 1 ,62 4,05667 0,297
3,00416
1,42 3,82333 0,02700 1,10517 1,64 4,08000 0,324 3,32012
1,425 3,82917 0,03375 1,13314 1,66 4,10333 0,351 3,66930
