Отрывные течения. Том 1 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
2 - первый и второй интегралы уравнения (10).
ламинарного потока, предложенный Лойцянским, оставаясь сравнительно
простым, дает достаточно точные результаты. Лойцянский указывает, что
этот метод применим также для ламинарного пограничного слоя на телах
вращения.
2.3. МЕТОД КАРМАНА - МИЛЛИКЕНА
Рассмотрим теперь метод расчета отрыва ламинарного потока Кармана -
Милликена [10]. В методе используются два приближенных решения уравнений
пограничного слоя: одно из них более точное на внешней границе
пограничного слоя, а другое -
78 ГЛАВА IE
на поверхности движущегося тела. Эти два решения сопрягаются между собой
в точке перегиба профиля скорости внутри пограничного слоя. Окончательное
решение выражается в виде рядов универсальных функций, являющихся
достаточно общими и включающих широкий класс распределений скоростей
потенциального течения за пределами пограничного слоя. Это окончательное
решение используется затем в расчетах положения точки отрыва ламинарного
потока. Прежде чем приступить к подробному рассмотрению метода Кармана -
Милликена, определим следующие безразмерные переменные и параметры: a)
Reb = (u"L/v), где и " - скорость невозмущенного потока, L - характерный
размер;
б) ?* = (?/ц "Ь), где ?* - безразмерный потенциал скорости, выраженный
через потенциал скорости ? в невязкой области течения за пределами
пограничного слоя в) ф* = (ф/м "L) (YReL/2), где ф* - безразмерная
функция тока, ф - функция тока в области потенциального течения за
пределами пограничного слоя; г) и* - (u/uj), где и* - безразмерная
скорость потока, и - составляющая скорости в пограничном слое в
направлении течения; д) Z* = (Z/ulо) = (и* - u2)l2ulo, где Z* - "потери
энергии", в безразмерном виде, ие - скорость потока на внешней границе
пограничного слоя. Потери энергии характеризуются уменьшением энергии
жидкой частицы единичной массы, движущейся вдоль некоторой линии тока.
Эти потери измеряются путем сравнения их с энергией частицы вне
пограничного слоя.
Основное уравнение теории Кармана - Милликена для ламинарного
пограничного слоя имеет вид
f"TW- (tm)e? = {l-(2Zlul)f\ (И)
Это уравнение выведено с использованием преобразования Мизеса. В работе
[10] оно получено из основного уравнения количества движения в
направлении линии тока путем замены переменных и некоторых допущений. В
уравнении (11) звездочки у величин Z. и и ф для удобства опущены. Решение
этого уравнения состоит из двух частей - внешнего и внутреннего.
Внешнее решение получается в предположении, что скорости во внешней части
пограничного слоя почти равны скоростям во внешнем потоке, т. е. (и/ие) =
1. Следовательно, уравнение (11) принимает вид
сф 4 d\f • ^ '
Согласно уравнению (12), потери энергии Z зависят как от безразмерной
функции тока ф, так и от безразмерного потенциала
1) В работе [7] ? обозначается через <р.
ОТРЫВ ЛАМИНАРН ПОТОКА ЖИДКОСТИ НА ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХ. 79
скорости Прежде чем приступить к решению уравнения (12), произведем
дополнительные вычисления, связанные с этим решением. Нам предстоит
выяснить зависимость квадрата безразмерной скорости (и*)2 от
безразмерного потенциала скорости с* вдоль обтекаемой поверхности тела.
Потенциал скорости вне пограничного слоя .может быть записан в следующем
виде:
S
Е = f ue(s) ds, о
где s - расстояние вдоль поверхности тела, измеряемое от передней
критической точки. Следовательно,
5 S
(13)
о о
где L - характерный размер.
Согласно уравнению (13), потенциал скорости ?* определяется путем
интегрирования и* по s вдоль поверхности. Так как ие и | (звездочки
опущены) являются известными функциями расстояния вдоль поверхности, то
нетрудно определить зависимость и% от Е. Следующим шагом является
выражение и2 через степенной ряд по Е. Вычисления степенных рядов
упрощаются, если кривую зависимости и2 от | расчленить на две части:
П
ul='2ibill для ?<ЕЬ
i=0
171
ие= 2 Р*?4 для ?>Н[,
i=0
где Ei - произвольно выбранное значение Е.
Теперь можно вычислить потери энергии в любой точке пограничного слоя в
виде функции от Е и if. Потери энергии Zw (?, ф) (где индекс w обозначает
внешнее решение) определяются в виде [11]
Zw(l, -ф) = -h Ч-
+l{h (hi- {b2(h2-ht)^M}, (14)
гДе У) = 6] ¦ Pj, y2-b2-Рг-
Это уравнение соответствует уравнению (19) Кармана - Милликена [101. Если
Е |j, то h* = g* = Р,- = 0, где i = 0, 1, 2.
hi (?) - go (?) + g\ (?);
80
ГЛАВА II
причем
/Го (I) = j (1-^(1)), 1=^|,
где Р (^) = -- Г е~Р2 сф - интеграл вероятностей, являющийся
затабулированной функцией,
gl ф=~4= ie_I*+12+12 (1 - ^ (I)),
I/ я
Дальнейшие подробности имеются в работе [11].
Если Е рассматривать как параметр, то можно вычислить Zw в функции
зависимой переменной ф. Допустимо пренебречь степенями ф, большими трех,
так как переменная ф в общем случае мала в точке перегиба.
Эта точка перегиба, являющаяся конечным результатом расчетов для внешнего
решения, зависит от пограничного слоя, и необходимо определить некоторые
величины, чтобы выявить граничные условия для внутреннего решения. Точка
