Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
потому, что часто применяемые в оптических приборах отражательные призмы
во многих отношениях эквивалентны (равноценны) плоскопараллельной
пластинке.
Пусть светящаяся точка А (рис. I. 12) находится на расстоянии s от
входной грани плоскопараллельной пластинки, толщина которой равна d, а
показатель преломления стекла райен п. Луч /4Sb совпадающий с нормалью к
грани SXP2 пластинки, как нетрудно заметить, образует на двух ее гранях
углы падения и преломления, равные нулю, а потому он проходит через всю
пластинку по прямой ASZ. Мы рассмотрим здесь ход другого
22
луча APi, образующего у точки Р1 углы падения н преломления сс"! и coj, а
у точки Р2 - углы м2 и сс>2• Учитывая, что показатель преломления воздуха
равен единице, и применяя закон преломления (I. 1) к преломлению
рассматриваемого луча на двух гранях пластинки, получим два выражения:
Sin 0)1 п Sin п Sin 0)2 = Sin (1)2.
(I.13)
Но по чертежу устанавливаем, что <о2 = (c)ь Поэтому левая часть второй
формулы (I. 13) совпадает с правой частью первой формулы, а
следовательно, должны быть равны левая часть первой и правая часть второй
формулы. Таким образом находим, что углы Cl>l и 0)2 равны. Если учесть,
что нормали к граням пластинки, восстановленные в точках Рх и Р2,
параллельны друг другу, то из равенства углов о"! и следует, что луч РгВ,
покидающий пластинку, параллелен лучу АРпадающему на нее. Обратное
продолжение луча Р2В встречает
осевую прямую AS2 в точке А', которую можно в первом приближении
рассматривать как изображение точки А. Определим теперь отрезок Д = АА',
смещение изображения, вызываемое плоскопараллельной пластинкой.
Для этого найдем сначала отрезок РхРг из треугольника PXNP2
РхР 2
(1.14)
Затем найдем по чертежу отрезок 6 = МА'
б = PiP2sin (it)2 - со2). (1.15)
Пользуясь формулой (I. 14) и доказанными выше положениями: fflj = (c)I и
(02 = соь получим из выражения (I, 15)
sin (а), - (c)i) ,
а д. u , р. d. (i. 16)
COS 0)j
Простым тригонометрическим преобразованием это выражение приводится К
виду
б (sin щ - cos (Oj tg coi) d
и далее, благодаря первой формуле (I. 13)
(I. 17)
Находим
Поэтому получим вместо выражения (I. 17)
(1.18)
Это окончательная точная формула для величины 6 сдвига луча
плоскопараллельной пластинкой.
Смещение Д изображения легко находится из треугольника АМА'
Из полученной точной формулы для смещения А изображения следует, что это
смещение пропорционально толщине пластинки. Но, кроме того, из этой
формулы видно, что Д зависит от угла ojj. Пусть нз точки А исходит
гомоцентрический пучок лучей, образующих на входной грани пластинки
различные углы падения По формуле (I. 19) для этих лучей получаются
разные значения величины Д, а значит пучок лучей, бывший до пластинки
гомоцентрическим, после выхода из пластинки становится
негомоцентрическим, а изображение точки А делается нерезким.
Величину возникающей при этом ошибки определим для случая малых углов
о>1. В этом случае можно разложить в ряды тригонометрические и другие
функции угла <а1} отбросив из этих рядов члены, содержащие четвертую и
более высокие степени угла. Таким приемом можно получить приближенные
формулы третьего порядка малости, точность которых бывает достаточной для
решения многих практических задач.
Пользуясь известными формулами для разложения в ряд тригонометрических
функций, получим:
sin (c)!
Применив выражение (I. 18) получаем
(I. 19)
(1.20)
24
Выражение (I. 19) приводится к виду
( *-4-
А = I 1 r=L= d. (1.21)
Далее воспользуемся известной приближенной формулой, также обеспечивающей
точность до членов третьего порядка малости:
+ Ь 0-22)
где х - величина второго порядка малости.
Это позволяет привести формулу (I. 21) к виду
НХ' + гИ)]'*' <L23>
откуда после понятных упрощений следует
А=^-0+^-0* ^ Отсюда находим при coj = 0
b, = H=±d. (1.25)
Разность 6s' = Д - Д0 называется сферической аберрацией пластинки.
Вследствие (I. 24) и (I. 25) получаем для сферической аберрации 6s'
выражение
6s' = ^<o?d. (1.26)
Рассматривая какой-либо предмет через толстую плоскопараллельную
пластинку, вы не сможете, однако, обнаружить ни малейшей нерезкости
изображения этого предмета. Это объясняется малым угловым отверстием
пучков лучей, входящих в зрачок глаза. В самом деле, полагая, что
половина диаметра зрачка глаза равна 1 мм, а рассматриваемое изображение
удалено от зрачка глаза на расстояние 250 мм, найдем, что угол coj =
1/250 рад = = 0,004рад. Положив далее ^= 1,5, подсчитаем по формуле (I.
26): 6s' =5= 3* 10~6d. Если d равно даже 100 мм, получим 6s' = 0,3 мкм.
Эта величина лежит далеко за пределами различимости для невооруженного
глаза.
В оптическом приборе плоскопараллельная пластинка может находиться в
пучках лучей, обладающих значительно большим угловым отверстием, и
сферическая аберрация 6s', вносимая пла-ртцнкой, может оказаться
недопустимо большой- В таких случаях
25
сферическую аберрацию 6s' пластинки компёисируют при помощи введения в
