Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
обратившись к чертежу (рнс. V. 6), 4
slna^~~XF' 'sina'^- -%rp- (V. 206)
Ошибка 6V закона синусов определяется по формуле бУ ^ sin а
V V sin а'
-1. (V. 207)
Здесь п = 1, п' = - 1, а линейное увеличение V находится по выражению
V = . (V. 208)
На основании формул (V. 206) и (V. 208) нз выражения (V. 207) находим
TT = 1W-'-1- (V.209)
Пользуясь выражением (V. 45), получаем отсюда после упрощающих
преобразований
<v-210>
а применяя (V. 47), найдем
ТГ = -Ц + ¦ (V.211)
V $ (s-s)x- (s-j-s)s v '
Отсюда видно, что ошибка закона синусов обращается в нуль в двух случаях.
Во-первых, при s' = s, когда уравнение (V. 52) превращается в окружность
с центром в совпадающих точках А и А'\ во-вторых, при s' = - s, когда
отражающая поверхность превращается в плоское зеркало, так как уравнение
(V. 53) в этом случае имеет вид х = 0.
610
В случае если s = оо и s' = /', когда отражающая поверхность приобретает
форму параболоида, получим из (V. 211)
1Г = -^ = -р (V. 212)
или короче
6/' = - jt. (V. 213)
Анаберрационные преломляющие поверхности тоже не свободны от ошибки
закона сниусов. Рассмотрим случай, когда предмет лежит на бесконечности,
а меридиональная кривая преломляющей поверхности выражена уравнением (V.
63). Ошибка закона синусов находится по формуле (V. 151)
б/'=-У-т - (V. 214)
' sin а ' v '
Пользуясь чертежом (V. 9) и формулой (V. 59), находим
Sin "/ - --- у (V. 215)
Вследствие этого получим вместо (V. 214)
"Г = W+ (/'-*)2-~Г. (V. 216)
Исключая отсюда у при помощи выражения (V. 63), после несложных
упрощающих преобразований найдем сначала
Н' (Г -хТ = (f -' (v-217)
а потому получим из (V. 216)
б Г = -%-*. (V1218)
Обратимся теперь к вопросу о нахождении такой анаберра-ционной
преломляющей поверхности, которая была бы в то Зке время свободна от
ошибки закона синусов, т. е. апланатической преломляющей поверхности. Прн
такой поверхности должны одновременно соблюдаться два условия: условие
точечного изображения и закон синусов.
На чертеже (рис. V. 28) показан ход луча КРА', проходящего через
преломляющую поверхность PS. KS - сферическая волновая
поверхность в пространстве предметов, центр которой
в точке А (мнимый предмет). Условие образования точечного изображения
напишется в следующей форме
пКР + п'РА' ¦= n's'. (V. 219)
По чертежу имеем
КР ^КА~РА. (V. 220)
511
Но КА - радиус волновой поверхности KS. Поэтому КА - =* SA = s, а
следовательно,
КР = а -РА. Отсюда выражение (V. 219) приобретает вид п'РА' - пРА - n's'
- ns. Из чертежа вытекает:
РА ' У
(V. 221)
(V. 222)
(V. 223)
Вследствие этого закон синусов (V, 337) выразится так:
(V.224)
При апланатической преломляющей поверхности должны быть справедливы оба
условия: (V. 222) н (V. 224). Исключив из них величину РА', получим
выражение
- РА - n's'
(V.225)
При рассмотрении этого выражения обнаруживается, что все величины,
входящие в него, постоянны, за исключением величины РА, которая, вообще
говоря, должна быть переменной. Поэтому становится ясным, что
существование условия (V. 225) возможно ие всегда, а лишь в отдельных
частных случаях.
512
Можно установить наличие трех таких случаев, когда удовлетворяется
условие (V. 225). Первый из них -при постоянном отрезке РА. Но если РА -
расстояние от преломляющей поверхности до осевой точки А предмета -
постоянно, то это значит, что преломляющая поверхность - сфера с центром
в точке А. В таком случае и точка А' должна совпадать с точкой А, как
показано на чертеже (рис. V. 29,а). При этом любой луч проходит через
преломляющую поверхность вдоль нормали к ней, не меняя своего
направления. Ясно, что при этом не нарушается гомоцен-тричность падающего
пучка лучей света, а значит, выполняется
а) б)
условие точечного изображения. Кроме того, при этом строго выполняется
условие а' = а, вследствие чего из закона синусов находится
V = А- - const.
п
Следовательно, закон синусов выполнен, и поверхность действительно
апланатическая. Таким образом, у сферической преломляющей поверхности
имеется пара аплаиатическнх точек, совпадающих с центром сферы. Но в
центре сферы лежат н ее узловые точки. Поэтому возможно существование у
сферы еще других пар аплаиатическнх точек.
Второй случай выполнения условия (V. 225) - если РА = О, т. е. если точка
А предмета совпадает с вершиной S преломляющей поверхности. В этом случае
s = s' = 0, а потому правая часть формулы (V. 225) также обращается в
нуль. Этот случай представлен на чертеже (рис. V. 29, 6J. Форма
преломляющей поверхности в этом случае совершенно произвольна, так как
все лучи пересекают ее только в одной точке. Из чертежа понятно, что
гомоцен-тричность падающего пучка не может быть нарушена поверхностью,
следовательно, условие точечного изображения выполнено. Углы а и а'
связаны друг с другом законом преломления п sin а = п' sin а'.
Поэтому закон синусов дает
V ~ 1 = const.
513
Значит, закон синусов тоже выполняется, а потому и в этом случае
поверхность апланатическая. Таким образом, можно утверждать, что в
