Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
формы F(2):
f= |j F<r>.
r=2
Оставшиеся не определенными коэффициенты Xt и выбираются такими, чтобы
квадратичная форма F(r) была знакоопределенной, тогда в области достаточно
малых по абсолютной величине значений переменных х, будет
знакоопределенной и функция F, причем V' = 0.
Так полученные достаточные условия устойчивости в ряде случаев, как и в
рассматриваемом примере, оказываются совпадающими (с точностью до знака
равенства) с необходимыми условиями устойчивости. Интересно отметить, что
для получения таких условий устойчивости иногда достаточно использовать
лишь часть известных первых интегралов (см., например: Румянцев В. В. Об
устойчивости вращения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в
случае С. В. Ковалевской. // ПММ - 1954.- Т. 18, вып. 4,- С. 457-458).
ПРИМЕЧАНИЕ
173
К с. 26. Вопросы| существования функции Ляпунова, удовлетворяющей
условиям теоремы об асимптотической устойчивости, исследовались рядом
авторов. В результате доказана обратимость теоремы Ляпунова об
асимптотической устойчивости (см.: Красовский Н.Н. Некоторые задачи
теории устойчивости движения.- М.: Физматгиз, 1959, с. 211).
К с. 29*. Вопрос о существовании функции F ((, х), удовлетворяющей
условиям теоремы Н. Г. Четаева для всякого неустойчивого невозмущенного
движения, разрешили И. Вркоч (Обращение теоремы Четаева // Чехослов. мат.
журн. -1955.- Т. 5 (80)) и Н. Н. Красовский (см. монографию, указанную в
примечании к с. 26).
К с. 29**. Из двух теорем Ляпунова о неустойчивости вторая обратима, а
первая обратима не всегда (Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории
устойчивости движения,- М.: Физматгиз, 1959.)
К с. 30. Эта теорема сформулирована следующим образом:
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что: 1) для
некоторой допускающей бесконечно высший предел функции F (t, х)
существует область, где VV' >0, и 2) для некоторых значений величин xs,
численно сколь угодно малых, в области FF' > 0 возможно выделить область,
в которой некоторая функция W > 0 и на границе которой W = 0 значения
полной производной W' суть одного какого-либо определенного знака, то
невозмущенное движение неустойчиво.
Следует отметить, что при решении вопросов о неустойчивости целесообразно
рассматривать интервал изменения времени [i0, оо] закрытым и
существование области F > 0 понимать как ее непустоту ни для какого t на
этом интервале.
Если рассматриваемая в теореме область FF' > 0 ограничена F = 0 и при
этом V' ^ 0, то за функцию W теоремы возможно взять функцию F.
В качестве функции W можно также выбрать F', тогда получается
первоначальная формулировка теоремы о неустойчивости, данная в работе:
Четаев Н. Г. Sur la reciproque du theoreme de Lagrange // C. R. Acad.
Sci.- Paris, 1930,- V. 190,- P. 360-362.
К с. 36. Элементарные (т. е. путем явного построения функции F)
доказательства для ряда других более сложных и тонких случаев обращения
теоремы Лагранжа были даны в статье: Четаев Н. Г. О неустойчивости
равновесия в некоторых случаях, когда функция сил не есть максимум //
ПММ,-1952,- Т. 16, вып. 1.- С. 89-93.
Из этих случаев приведем два наиболее общих:
1°. Пусть силовая функция" имеет вид U = Um + ?/m+1 + ...-)- -j-
-f f7|c -j- t^k+i -f • • •, где все однородные формы Um, . . ., {7к_г
постоянно отрицательны, формы Uим, . . ., {/к+г, • • • постоянно
положительны, а форма Uк знакопеременна, причем функция Um + UmJrl ~ . .
. -f- + U*
для численно достаточно малых значений переменных qs может быть сделана
положительной. Тогда положение равновесия qs = 0 неустойчиво.
Доказательство проводится рассмотрением функции
г = -яЕрА.
174
ПРИМЕЧАНИЯ
n
2°. Пусть 1) для численно сколь угодно малых qs, таких что
существует некоторая' область С, в которой функция сил U > 0; 2)
существуют некоторые непрерывные в С вместе со своими частными
производными первого порядка функции /., (q1, . . ., qn), обладающие
свойствами: /5 (0) = = 0, все главные диагональные миноры определителя
ограничены снизу положительными числами в области С; функция
3=1
весия неустойчиво.
Доказательство проводится рассмотрением функции V= -tf^jPa/s-
Эти теоремы Четаева сыграли важную роль в обращениях теоремы Лагранжа,
данных впоследствии в работах ряда авторов.
К с. 80. Этот, пример содержится в статье: Четаев Н. Г. О выборе
параметров] устойчивой механической системы//ПММ.-1951,-Т. 15, вып. 3.-
С. 371-372. Целью ее был показ несостоятельности интегральных оценок для
отдельных траекторий, соответствующих избранным начальным условиям, для
полной характеристики оптимальных свойств линейных систем и получение
настоящих оценок методом функций Ляпунова.
Значение этой работы выходит за рамки рассмотренной конкретной задачи:
общие соображения, лежащие в основе предложенного Четаевым метода
получения оценок качества переходного процесса в системе, применимы к
значительно более общим случаям, когда может быть построена функция
Ляпунова и подмечена связь между оценками свойств этой функции и ее
