Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальные уравнения А. Н. Крылова. Первый из интегралов является
интегралом Н = h, получающимся по методу (п. 9) игнорирования циклической
координаты со; при этом функция V - Н - Н0 не является знакоопределенной.
Для решения задачи устойчивости по отношению к переменным а, р, а', р'
умножим первый из интегралов на Ар, второй на - 2а и сложим:
W = ^(a'2 + P'2cos2a) -
- 2Ва (a' sin р - Р' sin a cos a cos р) - Ара cos a cos p. Первое
приближение интеграла W + Ара = W2 + . . . есть 1У2=Ц^ a'2 - 2Ваа'Р + Р2
+ Р'2 + 2?ap'a+ ^-a2.
Квадратичная форма W2 состоит из двух однотипных квадратичных форм;
достаточно рассмотреть одну из них
/ = сх'2 _ 2Baaf> + ^Р2-
Форма / будет тогда знакоопределенной относительно входящих в нее
переменных, когда положительным будет ее дискриминант
?
Ара
-Ва - т. е.
Агрг - 4Ва 4> 0.
Это - искомое условие. Если оно удовлетворено, то форма / будет
знакоопределенной относительно а', р; вместе с формой / будет при этом
знакоопределенной относительно а, р, а!, Р' форма W2, а тем самым и
интеграл W + Ара. Таким образом, W + Ара удовлетворяет всем условиям
следствия из теоремы Ляпунова
ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ сил
93
об устойчивости; отсюда заключаем, что если соблюдено последнее
неравенство, то рассматриваемое невозмущенное движение снаряда (ос = р =
ос' = р' = 0) будет устойчивым.
Рассмотренная стабилизация снаряда имеет гироскопическую природу и в
согласии с предложением Кельвина должна пропадать при существовании
полной диссипации. Действительно, добавим к первым приближениям
дифференциальных уравнений движения малые диссипативные силы, производные
от некоторой функции Релея
2/ = Ьа'2 + 2есс'р' + ср'2,
где малые постоянные коэффициенты Ь, е, с удовлетворяют
условию определенной положительности b ]> 0, Ьс - е% 0.
Будем
иметь
Ва" = аа + Ар§' - Ьа' - ер',
Вр" = ар - Ара' - еа' - ср'.
Чтобы доказать вполне строго, что диссипативные силы разрушают
гироскопическую стабилизацию, рассмотрим квадратичную форму
W -= \В (сх'2-}- Р'2) - ^ (се2 + Р2) - 2еВ (аа' + рр').
Положительную постоянную е определим после. Производная от W в силу
уравнений первого приближения будет
W' =-1(6 + 2еВ)а'2 + 2еа'р' - 2гЬа'а +
-f 2 (Ар - е)еа'р -f- (с + 2еВ) р'2 - 2 (Ар + е)ер'а -
- 2сер'р + 2гаа% + 2еаР2].
Дискриминант квадратичной формы - W' есть
Ь + 2еВ е -be (Ар - е) е
е с - 2ъВ - (Ар е) е -се
-be - (Ар 4- е) е 2ае 0
(Лр -е)е -се 0 2ае
Вынося из третьей и четвертой колонок этого определителя общий
положительный множитель е, заключаем, что при достаточно малом е, когда
при определении знака всех главных диагональных миноров дискриминанта
возможно пренебречь членами с высшими степенями е по сравнению с членами
с низшими степенями е, эти миноры будут положительными; следовательно,
при таком е рассматриваемая форма W' будет определенно-отрицательной.
Форма W допускает бесконечно малый высший предел как функция, не
зависящая от времени; выбором численно сколь угодно малых а, р, а', Р'
форму W всегда возможно сделать отрицательной, т. е. одного знака с W.
Отсюда в силу теоремы Ляпу-
94
ГЛ. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
нова о неустойчивости заключаем, что диссипативные силы разрушают
гироскопическую стабилизацию снаряда и что гироскопическая стабилизация
снаряда является временной.
Некоторые вынужденные движения
41. Большинство вынужденных движений какой-либо механической системы
берет свое начало в конечном счете в движении некоторой другой системы,
которая воздействует на первую и в свою очередь сама находится под ее
воздействием. Нередко движение второй системы рассматривается при этом
приближенно, как заданное с игнорированием воздействия со стороны первой
1).
Остановимся на случае, когда обе системы находятся в возмущенном движении
вблизи их положения равновесия, и вычисление будем вести в нормальных
координатах для возможно более простого случая. Пусть движения двух
систем (х) и (у) задаются уравнениями
х* = -а* - х*' + уу\
Q
У = -Р у-
Случай этот может представиться, если в системе (у) пренебре-гается
составляющей гироскопической силы -ух'; диссипация является частичной.
Постоянные х и р пусть положительны.
Рассмотрим случай, когда а и Р одновременно положительны,- иными словами,
случай, когда без пренебрежения гироскопической силой -ух' имела бы место
вековая устойчивость в смысле Кельвина. Пусть для простоты а = п2, р =
рг, тогда
А . .
и = - sin pt.
* ур у
Уравнение для системы (г) при этом принимает вид х" -Г УХ + пгх = A cos
pt.
Примем
х - a cos (pt - е)
и подставим в уравнение
а (пг - рг) cos (pt - е) - у.ра sin (pt - г) -
= A cos е cos (pt - г) - A sin е sin (pt - е)>
откуда, приравнивая коэффициенты при cos (pt - г) и sin (pt - е), имеем
а (пг - рг) - A cos е, apv. = A sin е,
х) Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1: Пер. с англ.- 2-е
изд.- М.: Гостехиздат, 1955.- (См. п. 51).
НИКОТОРЫЕ ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ
95
так что (частное) решение может быть записано следующим образом:
