Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 33

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 63 >> Следующая

меньшей мере один положительный корень для X. Этим неустойчивость
доказана.
При известных условиях равновесие, неустойчивое под действием одних
потенциальных сил, можно упрочнить или стабилизировать добавлением
подходящих гироскопических сил, если степень неустойчивости не была
нечетной и при этом не добавляются диссипативные силы, обладающие полной
диссипацией.
Чтобы доказать возможность гироскопической стабилизации в таких случаях,
выделим пары нормальных координат, отвечающие отрицательным Xv. Пусть
одна такая пара переменных имеет следующие уравнения с добавлением
гироскопических сил:
х" = -ах + gy', у" = -Ру - gx',
где аир отрицательны. Характеристическое уравнение такой системы
А (X) = X* + X* (g2 + а + р) + ар = 0
будет иметь чисто мнимые корни, если для Я2 оно имеет отрицательные
корни. Последнее произойдет, если
g2 + а + Р > 0, (g2 + а + Р)2 - 4ар > 0.
Если постоянная g удовлетворяет последним неравенствам, равновесие будет
стабилизировано. Предложение доказано.
Но если на материальную систему действуют силы с рассеиванием энергии при
любых действительных перемещениях, то гироскопическая стабилизация по
доказанному выше невозможна. А так как в действительности малые
диссипативные силы с полной диссипацией всегда существуют, то
гироскопическая стабилизация имеет для нашей действительности временное
значение и нарушается, коль скоро на систему подействуют диссипативные
силы с полной диссипацией. Поэтому лорд Кельвин предложил называть
временной устойчивость равновесия, получающуюся от гироскопической
стабилизации, а устойчивость равновесия, существующую при действии одних
потенциальных сил, он предложил называть вековой.
Пример. Центр тяжести артилерийского снаряда движется в вертикальной
плоскости стрельбы вдоль оси |, которую примем для простоты
горизонтальной. Пусть х - ось снаряда; v - постоянная скорость его центра
тяжести; I - проекция оси снаряда на плоскость стрельбы; а - угол между I
и х\ р - угол между | и 7; | - горизонтальная ось, ? - вертикальная, а т)
- третья ось левой системы (?il?). Задача эта является известным
ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ сил
91
приближением для движения снаряда по весьма настильной траектории.
Подвижную систему осей (xyz), имеющую начало в центре тяжести снаряда,
определим кинематически, чтобы тем самым показать голономность
переменных, которые будут определять положение снаряда относительно его
центра тяжести. Сначала повернем систему (|т]С) вокруг оси т] на угол р
так, чтобы ось | перешла в ось I, новое положение оси ? назовем через z,
получим систему (Ir\z)\ последнюю повернем вокруг оси z на угол а так,
чтобы ось I перешла в ось х, полученную систему назовем (xyz). Пусть со
обозначает угол поворота снаряда вокруг его оси х в системе (xyz). Из
кинематического определения непосредственно следует голономность
переменных со, а, р.
Мгновенная скорость вращения снаряда является результирующей угловых
скоростей а', Р', соответственно направленных по положительным осям х, z,
т); отсюда ее проекции р, q, г на оси х, у, z будут равны
р = ш' + р' sin а, q = Р' cos а, г = а'.
Живая сила вращательного движения снаряда имеет известный вид
2 Т = Ар* + Bq2 + С г2,
где А, В, С обозначают моменты инерции снаряда относительно осей х, у, z.
Для обычных продолговатых снарядов, представляющих тело вращения вокруг
своей оси, все эти моменты инерции представляют постоянные величины С = В
]> А.
Момент действующей на снаряд опрокидывающей пары направлен ортогонально
плоскости, проходящей через скорость центра тяжести v и ось снаряда х в
сторону, откуда вращение от v к х кажется положительным. Другие пары сил,
действующих на снаряд, не принимаются во внимание. Величина
опрокидывающей пары К - a sin у зависит от положительной величины а = a
(v) и от угла у между скоростью полета v и осью х; cos у = = cos a cos р.
Величины обобщенных лагранжевых сил Q получаются непосредственно из
выражения возможной работы опрокидывающей пары
a sin убу = -ab cos у = a sin a cos (5 8а + a cos a sin р бр.
Дифференциальными уравнениями вращательного движения снаряда являются
уравнения Лагранжа для переменных со, а, р. Одно из уравнений
непосредственно приводит к первому интегралу Ар = const, отвечающему
циклической координате со; два других имеют вид, установленный А. Н.
Крыловым:
Ва" + ВР'2 sin a cos а - Ар§' cos а - a sin a cos р,
SP" cos а - 25а'р' sin а + Ара' - a sin р.
92
ГЛ. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
Умножая эти уравнения один раз соответственно на a', Р' cos а, а другой -
на sin р,- sin a cos Р и складывая по отдельности каждый раз, после
некоторых простых преобразований и интегрирования получаем два первых
интеграла:
-у (a'2 -f- Р'2 cos2 а) + я cos a cos р = h,
В (а' sin р - Р' sin a cos a cos р) + Ар cos а cos Р = к.
За невозмущенное движение снаряда мы примем частное решение а 0, р = 0,
а' = 0, р' = 0 дифференциальных уравнений движения. Для такого
невозмущенного движения уравнениями возмущенного движения будут
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed