Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
CL (о)
К (Xv) :
V(O)
где L (о (х)) — общее изменение суммы масс покоя частиц во всех столкновениях внутри физически бесконечно малой области Ot построенной около точки х. Это определение величины к (xv) можно записать и в трехмерном виде:
Здесь область о представляет собой физически бесконечно малый трехмерный объем V3 пространства переменных X19 X29 X99 рассматриваемый в течение физически бесконечно малого промежутка времени tx. Отметим, что в релятивистской механике величина к может быть не равна нулю, так как, согласно равенству (2.6), сумма масс покоя частиц при столкновении не обязана сохраняться. И только в пределе при с = оо имеем х = 0.
Уравнение (3.3) приводит к дифференциальному уравнению баланса массы покоя сплошной среды
дри° . dcpuk_
~dt дх&~
Его можно записать и в четырехмерном виде:
~(cpuv) = K, (3.4)
откуда следует, что величина к не зависит от выбора ГСК. При переходе от системы координат Xv к произвольной системе координат Iа уравнение (3.4) принимает вид
Vct (сриа) = к. (3.5)
Сопутствующая система координат. Рассмотрим в области V кривую, единичный касательный вектор к которой
в каждой точке равен вектору 4-скорости сплошной среды в этой точке. Такая кривая называется мировой линией
ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
29
бесконечно малой частицы (т. е. точки) сплошной среды или просто мировой линией сплошной среды1). Пусть ?° — произвольный параметр точек мировой линии, который монотонно возрастает с увеличением времени. Тогда функции Xv (?0)» задающие положение мировой линии точки сплошной среды относительно ГСК, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений
в которой А — положительный интервал, отсчитываемый вдоль мировой линии точки сплошной среды. Множество всех мировых линий сплошной среды образует трехпараметрическое семейство. Обозначим его параметры через ?° (а = 1,2, 3). Они называются лагранжевыми координатами точек сплошной среды. Функции, задающие положение семейства мировых линий сплошной среды, следует записать теперь в виде
Параметры ?а можно рассматривать как криволинейную систему координат в пространстве событий Минковского [1-3]. Она называется сопутствующей (для сплошной среды) системой координат Iа и обладает всеми рассмотренными в § 1 характеристиками и свойствами произвольной криволинейной системы координат (gap, Эаf Эа, ГаЭ> ...)* В дальнейшем через ?а всегда будем обозначать сопутствующую систему координат (CCK)2). Для интервала, отсчитываемого вдоль мировой линии точки сплошной среды, остается в силе выражение (2.2), а для компонент 4-скорости сплошной среды—выражения (2.3), если в них под V и Vk понимать соответственно модуль и компоненты
1J Следует помнить, что точка сплошной среды представляет собой точку в трехмерном физическом пространстве, а в четырехмерном пространстве событий ей соответствует мировая линия сплошной среды.
2) Для обозначения индексов компонент тензоров в CCK применяются строчные буквы начала греческого алфавита а, у, 6, ..., принимающие каждая значения 0, 1, 2, 3. Если же рассматриваются компоненты тензора в CCK со значениями 1, 2, 3 некоторого индекса, то он обозначается строчной буквой из начала латинского алфавита а, Ь> с, d, ... Можно рассматривать также компоненты тензоров, у которых одни индексы относятся к CCK ?а> а другие —к ГСК Xvt причем поднимаются и опускаются они соответственно с помощью компонент gap и ^rptv.
CW
dA
Xv=X^ao, Iа)=xv (Iа).
(3.7)
зо
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
обычной трехмерной скорости точки (бесконечно малой частицы) сплошной среды. Эти величины определяются следующим образом:
h Idx0Y-Idxk ,/----z
Vk = V суЩо) а|*. V = VVkVk.
Записывая равенства (3.6) относительно CCK и учитывая, что вдоль мировой линии точки сплошной среды dla/dk = 0, найдем компоненты 4-скорости точек сплошной среды относительно CCK1J
= Д= . Ua = ga^ = ^=. (3.8)
dA V goo к goo
Компоненты выражаются через и производные функций (3.7) при помощи равенств (1.14). Вообще закон движения сплошной среды (3.7), устанавливая связь между CCK ?а и системой координат наблюдателя xv, позволяет тем самым использовать приведенные в § 1 формулы для пересчета компонент тензоров при переходе от одной системы координат к другой. Отметим еще, что 4-скорость и точек сплошной среды связана с вектором Эо из базиса эа, соответствующего CCK, простым соотношением
и = иаЭа=тХ=Эо- (3.9)
У Soo
Собственное время и расстояние. Определим теперь относительно сопутствующей системы отсчета промежутка собственного времени dx и элементы собственного пространственного расстояния dX. Промежуток собственного времени между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими в одной и той же точке сплошной среды, по определению связан G интервалом dA между этими событиями простым соотношением
di= 1J dA = ± Vg^dl0. (3.10)
Чтобы определить элемент собственного пространственного расстояния dX между произвольной точкой сплош-
1J В дальнейшем тензорные индексы, на месте которых стоят
