Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь —некоторые множители, которые должны быть дополнительно определены с учетом равенств (26) и условия Oi ^ 0, причем dXk = 0 при (ьФ 0. Отметим также, что функции нагружения fk могут зависеть от определяющих параметров (1)
Если область G в пространстве переменных Rat Rabt ограниченная поверхностями нагружения, является невогнутой и содержит начало координат, то из (27) следует принцип максимума Мизеса для магнитопластических сред:
Rabde*b + Ra d\i*a ^ R'ab de*b + R'a Здесь R’ab и Ra-любые значения Rab и Rq из области G.
В дальнейшем функции fk будем выбирать так, чтобы смещениям в область G соответствовали неравенства
Zft=O, ЁЬ-dRa+-Vjl.dR<“><о. dRa *dR«b
Тогда из условия CF1^O следуют неравенства dX^^O.
Рассматривая необратимые эффекты, обусловленные теплопроводностью, электропроводностью, релаксацией намагниченности и вязкой диссипацией, будем предполагать [15], что функция а2 является квадратичной формой (72=1/2) относительно термодинамических сил VaTt Eat Vbvay d\xFjdtt причем коэффициенты этой формы, вообще говоря, зависят от определяющих параметров (I). В этом случае из равенств (24) следует, что обобщенные потоки —QaITt jat таЬ, Qha линейно зависят от указанных выше термодинамических сил, и матрица коэффициентов этой линейной зависимости симметрична.
Ho, как известно [15], при наличии магнитного поля и намагниченности матрица из коэффициентов линейной зависимости обобщенных потоков от термодинамических сил, вообще говоря, симметричной не является. Эта матрица, очевидно, может быть представлена в виде суммы симметричной матрицы, совпадающей с матрицей коэффициентов квадратичной формы а2, и некоторой кососимметричной матрицы, которая должна быть задана дополнительно. Поэтому равенства (24) для —qa/T, jat таЬ и pha можно обобщить следующим образом:
~Yqa==y26(v}r)~T q'a' 'а = + 7 “
У а ) а (28)
ab = ——- -¦ -4- т' ab~ Cih~ = v» --
= Y2
^(Va)+T^ Pha~~y2d(d\X*/dt) + 9ha'
280 ДОПОЛНЕНИЕ
Здесь величины — q'aJTt /'°, x'abt рha линейно зависят от термодинамических сил VaTt Ea, VbVat d\ia/dt. Матрица коэффициентов этой линейной зависимости кососимметрична, и поэтому имеет место тождество
- і q’°VaT + j’aE'a+x'°»Vbva +pft' ^ = о,
которое показывает, что дополнительные члены в (28) не дают вклада в функцию диссипации а2.
Уравнения (28) позволяют получить законы Фурье, Ома, Навье— Стокса и уравнения релаксации намагниченности, а также учесть различные перекрестные явления и эффекты, связанные с влиянием магнитного поля на теплопроводность, электропроводность, вязкую диссипацию и релаксацию намагниченности. К ним относятся термомагнитные и гальваномагнитные эффекты, которые в ферромагнетиках проявляются особым образом [1—4], например, обладают гистерезисом, т. е. неоднозначно зависят от напряженности магнитного поля. Подобные аномальные свойства ферромагнетиков учитываются в (28), так как коэффициенты в линейной зависимости обобщенных потоков от термодинамических сил могут зависеть не только от напряженности магнитного поля, но и от величины остаточной намагниченности, которая определяется историей намагничивания тела.
Если не учитывать перекрестные эффекты, то будут справедливы следующие соотношения:
а2 = *at>VaTVbT + Pa»E>aE'b+ Xa^vaVbVcVd + yalf^ ^;
Ha6==X6ot Po6 = P6", XabCd-XCdab, Yoft=Yfra!
(29)
-Lfa = ^ab4bT, Ia — р'аЬЕ'аЬ>
T'aft = XlabcdVcVd, рЛ' =>у^ь~}
Y4'аЬ — —х'^а, р'а^ = — р'^а,
Kabcd = -Kcdabt =
В этом случае дополнительные члены в уравнениях (28) учитывают эффекты Холла, Ледюка — Риги и влияние магнитного поля и намагниченности на тензор вязких напряжений и на процесс релаксации намагниченности. Подставляя (29) в (28), получим законы Фурье, Ома, Навье—Стокса и уравнения релаксации намагниченности
- і 4а = (ха6 + х'в6) VbT, Iа = (Poft + Р'аь) Е'Ьу
ф6 (30) тab ^abcd+ KabcO) VcWrf) p/la = (Ya6 + Y^6) .
Вся предыдущая теория была развита для ускоренно движущейся анизотропной среды с учетом конечности деформаций Предположения
об изотропии среды и малости деформаций приводят к упрощений полученных соотношений.
ЛИТЕРАТУРА
К ГЛАВЕ 1
1. Седов Л. И. Механика сплошной среды.-3-є изд., перераб. и доп.—М.: Наука, 1976, т. 1, 536 с.; т. 2, 573 с.
2. Паули В. Теория относительности: Пер. с нем.—М.; Л.: Гос-техиздат, 1947.—300 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. 2. Теория поля.—5-е изд., перераб. и доп.—М.: Наука, 1967.— 460 с.
4. Синг Дж Л. Общая теория относительности: Пер. с англ./ Под ред. А 3. Петрова.—М.: ИЛ, 1963.—432 с.
5. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды.—М.: Физ-матгиз, 1962.—284 с.
6. Седов Л. И., Лохин В. В. Описание с помощью тензоров точечных групп симметрии.—Докл АН СССР, 1963, т. 149, Jsfe 4, с. 796 — 797.
7. Л о х и н В. В., Седов Л. И. Нелинейные тензорные функции от нескольких аргументов. —Прикл мат. и мех., 1963, т. 27, вып. 3, с. 393 — 417
8. Бердичевский В. Л. О нелинейных тензорных функциях в теории относительности. — Прикл. мат. и мех., 1967, т. 31, вып 1, с. 187—189.
