Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 8

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 91 >> Следующая


(2.9), (2.11) в трехмерной форме:

*v€w=e&k+Tekpr^ <214>

pkpr г________]_ доЖ*к__q ('2 15)

е дхР ” с dt 9 дх* “U’ 'ZAb)

^ = -S. ^ = (2.16)

dt дхк' дх?

где Vk = Vk = ~, Sk = (Sk, о?Гк = <Жk, a ekpr — трехмерные,

полностью антисимметричные символы Леви-Чивита, причем е123=1. Отметим, что среди уравнений (2.8) или (2.14) только три уравнения независимые.
МАТЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ПОЛЯ

25

Выше были введены компоненты тензора напряженности электромагнитного поля в вакууме. Средние характеристики электромагнитного поля в веществе будут определены в § 5.

В настоящей главе были сформулированы известные исходные релятивистские понятия, которые потребуются в дальнейшем. Более подробно геометрия пространства событий Минковского, тензорная алгебра и тензорный анализ рассматриваются в работах [1 — 11]. Релятивистская механика материальных точек и электромагнитного поля в вакууме изложена в работах [1—4, 12 — 15].
ГЛАВА 2

КИНЕМАТИКА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ПРОЦЕССОВ

§ 3. Движение сплошной среды

Релятивистская сплошная среда. Рассмотрим систему материальных частиц, которые можно считать материальными точками. Пусть их мировые линии проходят через некоторую четырехмерную область V в пространстве событий Минковского. Физически бесконечно малой четырехмерной областью о будем называть четырехмерную область, лежащую в V и обладающую следующими свойствами: а) четырехмерный объем v области о много меньше четырехмерного объема V\ б) через область о проходит достаточно большое число мировых линий частиц. Рассматривая указанную систему материальных частиц в области

V как релятивистскую сплошную среду, введем в каждой точке X из V средние характеристики р(*), Uv (х), определенные равенствами

p“V==Tb)2l m'w'vdA'* MvUv=I- (3-1)

О

Здесь т' и u'v — масса и компоненты 4-скорости одной частицы; А' — положительный интервал, отсчитываемый вдоль ее мировой линии1). Интегрирование проводится по участку мировой линии частицы, принадлежащему физически бесконечно малой области о (х), содержащей рассматриваемую точку х. Сумма берется по всем частицам, чьи мировые линии проходят через о(х). Определение (3.1) предполагает, что результат осреднения по области о, построенной вокруг рассматриваемой точки х, с достаточной точностью не зависит от выбора области о. Из равенства (3.1) следует, что величины Cpuv являются компонентами четырехмерного вектора сри. Его называют 4-вектором плотности потока массы покоя среды. Еди-

1J Для частиц с m' = 0 в формуле (3.1) надо сделать замену Ufv-^dxtvIdlfi dA-+dl', где — произвольный параметр точек на мировой линии частицы.
ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

27

ничный вектор и называется 4-скоростью сплошной среды в точке я, а скалярная величина р — собственной плотностью массы покоя сплошной среды в точке х.

Равенство (3.1), определяющее величины pwv, можно записать также в виде (учитывая, что u'v = dx'v/d&')

pu°(t, хг)рм*(ґ» *r)==(srs2mVA)' (3-2)

©» / ' Оя /

Здесь v'k = dx'k/dt — компоненты трехмерной скорости частицы; V3-физически бесконечно малый трехмерный объем, которому принадлежит в рассматриваемый момент времени / точка с пространственными координатами хг\ сумма берется по всем частицам, находящимся в объеме v9\ угловые скобки обозначают операцию осреднения по физически бесконечно малому отрезку времени Z1, содержащему момент времени t. Из равенств (3.2) следует, что относительно выбранной ГСК произведение ри0 представляет собой среднюю плотность массы покоя среды*), а произведения c\mk (Л=1, 2, 3) являются компонентами трехмерного вектора средней плотности потока массы покоя среды. Относительно ГСК, которая является собственной для точки с координатами Xv2), величина р (xv) представляет собой среднюю плотность массы покоя среды. По-

этому она называется собственной плотностью массы покоя среды.

Из определения и физического смысла величин ри°, cpuk следует, что в каждой ГСК они должны удовлетворять обычному интегральному уравнению баланса массы покоя сплошной среды

*2 *2 J рuv d6x tz = — J $ cpuknk dodt+ J Jx (Px dt, (3.3)

V, и U E2 U V9

1) Здесь и везде в дальнейшем прилагательное «средний» означает «средний по физически бесконечно малой области о (х), построенной около рассматриваемой точки х».

2) Галилеевой системой координат (ГСК), собственной для точки х пространства событий, будем называть ГСК, которая являете^ собственной для сплошной среды в точке х пространства событий, т. е. такую ГСК, относительно которой компоненты 4-скорости сплошной среды в точке X имеют вид u*v(x)~6v Компоненты тензоров в точке X пространства событий, взятые относительно собственной для нее ГСК, будем отмечать звездочкой.
'28

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

[ГЛ. 2

в котором V3-трехмерная область пространства переменных X19 X2i X3t ограниченная неподвижной относительно выбранной ГСК двумерной поверхностью S2; rtk — компоненты трехмерного вектора внешней нормали к S2; do — обычная площадь элемента поверхности S2; d3x = dx1dx2dx3.

Величина к (х) называется локальной скоростью изменения массы покоя сплошной среды в точке х пространства событий и определяется равенством
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed