Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Третье условие (14.30) получается из второго при замене величин Ty на |iY. Поэтому его можно также представить в виде соотношений, получающихся из равенств (13.48) —
(13.51) путем замены в них величин T и Tv на dU/dZ и |lIv. Последнее равенство (14.30) вместе с соотношением
(14.26) образует известную систему условий на разрыве для электромагнитного поля [1], записанную в четырехмерной форме. Отметим, что, используя антисимметричность компонент Zrap, 8^и и равенства (9.39), (13.34),
(13.43), последнее условие (14.30) можно записать в ГСК наблюдателя. Для этого умножим последнее равенство (14.30)
{7a?!%}± = 0, {7VP]-p^>0,
Ifltvfpj = {А =" IjT=Tf Мя}* 6O = °-
206 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
иа и преобразуем его левую часть следующим образом:
= (j?p=)+ [Vr=rS = («> у^=)+ [V=rS F* 1± =
= {АД* VapI- = {д#,,/"*}+ = = 0. (14.31)
Аналогично можно переписать в CCK соотношение (14.26).
Динамические тождества. Установим некоторые динамические тождества для рассматриваемой модели. Для этого, как и в § 13, применим теорию, развитую в предыдущей главе. Сравнивая общие выражения (7 19), (9.1) и (10.13) для функционалов 6W*f 6W и вариаций 6^, соответствующих бесконечно малому преобразованию Пуанкаре (10.11), с их конкретными выражениями (14.10), (14.22), (13.18) и (14.12), найдем, что для рассматриваемой модели коэффициенты /Ил, М®, MrxA у WaAy /?Vf Zv,
входящие в указанные общие выражения, имеют вид
(13.52)1) и
ІИ МА М« M’f W^6 Iа |1V Iа
IpY 1 -=Vу Vy 0 0 Vy 0 0 0
цл MaA waA tv/'* 8 к А Iа 1JIV Iа 1V
j4y 0 0 0 Fr* 4я 0 0 0
Здесь учтено очевидное равенство
6еЛа = 0, (14.33)
выполняющееся для вариаций компонент 4-потенциала электромагнитного поля в CCK, соответствующих бесконечно малому преобразованию Пуанкаре (10.11).
Рассмотрим законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения, вытекающие из однородности и изотропности пространства событий Минковского. Как и в § 13, легко проверить, что для вариаций (13.18),
1J Компоненты входящие в выражения (13.52), для рассмат-
риваемой модели определяются вторым равенством (14.18).
§ И]
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
207
(14.12) и (14.33) все условия теоремы Нетер удовлетворяются. Поэтому на действительных процессах выполняются тождества (10.6)—(10.10), (10.15), (10.16), записанные с учетом соотношений (13.52), (14.32) при Ib=Iv и Ib = Iuv Они выражают законы сохранения энергии-импульса (при /b=/v) и момента количества движения (при Ib = Iuv) сплошной среды и электромагнитного поля. Общие выражения (10.14) для компонент Т'*.> тензоров энер-
гии-импульса и момента количества движения в рассматриваемой модели на основании соотношений (13.52), (14.32) по-прежнему можно записать в виде равенств (13.53), в которых компоненты Т$а теперь определяются второй формулой (14.18). Отсюда следует, что последние являются контравариантными компонентами тензора энергии-импульса проводящей среды и электромагнитного поля в ССК. Поэтому для рассматриваемой модели уравнение энергии-импульса (10.15), записанное относительно ССК, совпадает с уравнением движения (14.18), а условие баланса на разрыве для потока энергии-импульса (10.15) совпадает с первым динамическим условием на разрыве (14.30), Тождества (10.16), представляющие собой уравнение момента количества движения и условия баланса на разрыве для потока момента количества движения, для рассматриваемой модели являются следствием уравнений (10.15) и симметричности компонент тензора энергии-импульса проводящей среды и электромагнитного поля, определенных вторым равенством из (14.18).
Компоненты тензора энергии-импульса проводящей среды и электромагнитного поля представляют собой сумму компонент двух симметричных тензоров TiC), T(F)I
= 7? + 7?, 7? В- + Ptf - т»Р, (14.34)
причем тензор TiF) зависит только от тензора напряженности электромагнитного поля Ft а тензор Tiо от него совсем не зависит. Поэтому слагаемые 7? и 7? можно рассматривать как компоненты тензоров энергии-импульса соответственно проводящей сплошной среды и электромагнитного поля. Плотность внутренней энергии, определенная равенством (12.8), для проводящей среды и электромагнитного поля на основании соотношений (14.34), (13.26),
(14.15), (13.16), (14.6) представляется в виде суммы
* = T^naUp = *(С)+&( л, (14.35)
208
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
где
*(С, = nWp = P (и -? S“ - , (14.36)
%(F) = T(F)UaUfi — (б«6а ~Ь baba) =
= ^ (?**?? + B**B*k), (14.37)
a ea9 ba — компоненты 4-векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, определенные равенствами (5.42). Очевидно, слагаемое <$(С) можно рассматривать как плотность внутренней энергии проводящей сплошной среды, а слагаемое — как плотность энергии электромагнитного поля в собственной ГСК.
Рассмотрим тождества, вытекающие из инвариантности электромагнитного поля относительно градиентного преобразования. Если функционал 6W* не содержит вариаций 6Aa9 то как указывалось в § 10 действие для сплошной среды и электромагнитного поля должно быть инвариантно относительно градиентного преобразования, определенного равенствами (10.17), (10.18)1). Следствием этой инвариантности являются соотношения (10.25), (10.27), которым должен удовлетворять лагранжиан сплошной среды и электромагнитного поля. Используя выражения (14.14), (5.14) для SI9 Ja и антисимметричность компонент Fa^9 г|)[аU^lVyj легко проверить, что для рассматриваемой модели действие инвариантно относительно градиентного преобразования (10.17), (10.18):
