Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(13.33), (13.37) и (13.38) (или эквивалентное последнему равенство (13.44)). Соотношение на разрыве для вариаций Stya получим, учитывая физический смысл параметров электрического тока tya (см. § 5) и рассматривая гиперповерхность разрыва как бесконечно тонкий четырехмерный слой, в котором 4-вектор плотности электрического тока остается ограниченной величиной. Рассуждения, которые необходимо провести для этого, дословно совпадают с рассуждениями, проведенными в § 13 при выводе кинематических соотношений на разрыве для параметров сра, если в них компоненты-Sa и фа заменить на Ja и г|)а, а величины а и ф положить равными нулю. В результате для величин Ja9 г|)а, 6г|)а получаются кинематические соотношения, полностью аналогичные соотношениям для Sa9 фа, 6фа из § 13:
(14.23)
(14.24)
[\|зп]: = 0, [6^a]i = 0, UaIa=^Q.
$ 141 ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ 203
При помощи тождества (13.39) второе условие (14.24) можно представить в четырехмерном виде, аналогичном соотношению (13.44).
Для вариаций компонент 4-потенциала электромагнитного поля соотношения на разрыве получим в случае, когда гиперповерхность разрыва можно рассматривать как бесконечно тонкий четырехмерный слой, в котором тензор напряженности электромагнитного поля остается ограниченной величиной. Интегрируя тождество
Ftiv9W = <3*(%Л V1^av)
по части указанного слоя, соответствующей участку гиперповерхности разрыва ASc, и применяя формулу Остроградского — Гаусса (1.44), записанную относительно ГСК наблюдателя, найдем
5 SgHvjSWxd8C = O.
Отсюда в силу произвольности области ASc и непрерывности векторов базиса ГСК наблюдателя э*\ av вытекает соотношение
IMvir = 0. (14.25)
Используя его, можно показать, что компоненты тензора напряженности электромагнитного поля на разрыве удовлетворяют соотношению
= 0. (14.26)
Действительно, на основании третьего примечания к § 9 и равенств (1.39), (9.9), (9.15), (9.39), (13.41), (13.42),
(14.25) имеем
Ie^-ZvF,Л: = 2et'^\l,dxAK\: = 2е^* =
=^vxk (ft' им: - 2 {/№7?ft, А„у_) =
=(few /рЛW T =°-
Чтобы получить из условия (14.25) соотношения для вариаций 8Ла, преобразуем его левую часть, используя
равенства (9.9), (9.15), (9.39), (13.41), (13.42) и третье
204 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
примечание к § 9:
М7?еИ«}±={/[. j ftk)Aay_ =
т = (киШ, [Aa]+- = (/[ц^])+ [^vI--
Умножив затем соотношение (14.25) на (xSjtp/K—Sr)+, получим
IMbw-=- =-{їйГ - °- (и'27>
Последнее равенство (14.27) содержит три независимых условия на разрыве для четырех компонент Ла.„ Следовательно, значения компонент Aa на одной из сторон гиперповерхности разрыва определяются их значениями на другой стороне неоднозначно, что является проявлением общей неоднозначности 4-потенциала электромагнитного поля, определенного лишь с точностью до градиентного преобразования (см. § 2, 5 и 10). Используя последнее обстоятельство, на компоненты Aa можно наложить более жесткое условие непрерывности на гиперповерхности разрыва, из которого в силу соотношений {іа/У — g}i = 0 сразу вытекает последнее равенство (14.27). Проводя в нем варьирование и учитывая тождества (13.36), получим следующее соотношение для вариаций 6Ла:
{р= s Y= 1U =°- < 14-28>
Если же компоненты Aa непрерывны на разрыве, то, очевидно, имеем более жесткое условие [бЛа]І = 0, из которого сразу вытекает последнее равенство (14.28).
Рассмотрим динамические условия на разрывах в случае, когда для вариаций Sxvt Sqyt 6\|)Y, 6Ла выполняются кинематические соотношения (13.33), (13.37), (13.38),
(14.24), (14.28). Используя их и полагая вариации определяющих параметров равными нулю на границе dVt представим выражение (14.22) для функционала 8W в виде1)
Wc=j j ({гЛ%}± в*;+{ад, V++
+ {Rt/m /э? ЬА+) d%. (14.29)
1J Cm. примечание перед формулой (13.45). Все сказанное там
остается в силе при замене 6q/v на
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
205
Задавая значения функционала бWcy определенного равенством (14.29), получим динамические условия на гиперповерхности разрыва Sc. Как и раньше, ограничимся случаем, когда SWc = O. Учитывая, что вариации бср^, б-ф^, 6Л+ являются независимыми, а коэффициенты при вариациях бф+, бг|?+ в выражении (14.29) тождественно равны нулю, из уравнения бWc = 0 найдем следующие динамические условия на разрыве:
Ниже будет показано, что первое равенство (14.30) совпадает с вытекающим из теоремы Нётер условием непрерывности на разрыве потика энергии-импульса сплошной среды и электромагнитного поля. Второе условие (14.30) имеет тот же смысл, что и § 13. В частности, его можно представить в виде соотношений (13.48) и (13.49) — (13.51). Третье равенство (14.30) вместе с соотношением (14.23) образует условия на разрыве для уравнения баланса электрического заряда. Если функция U в выражении (14.1) для лагранжиана A не зависит от аргументов Z, /а, то третье условие (14.30) удовлетворяется тождественно в силу кинематических соотношений (14.27) для компонент Aa. Действительно, в этом случае на основании выражений (14.17) для величин \iy и равенств (13.34), (14.27) имеем
