Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
s —> Zy Sa-^jay фа-*г|)а, ф*->•(), S-+Z
переходят в параметрические представления (5.13) для величин zy ja и определение Z = z/p для величины Z, Поэтому, производя указанную подстановку в выражениях <13.11), (13.12) для вариаций 65, бSay сразу получим
M = т[т (ї5 pf )1 •
fYc.p] (14.8)
бja = — (g*Va -j. j(buv>ua) V6 6*Y - cypy u - J—.
V У
Вариации остальных аргументов функции U из выражения (14.1) для лагранжиана, а также вариация произведения р Y—g по-прежнему определяются по формулам, полученным в § 13.
Вариационное уравнение. Исходное вариационное уравнение имеет вид
bI+6W* + m = 0, /==1 J AVrz^id*g. (14.9)
С
Функционал бW* зададим следующим образом:
!і
Vltc ____
xV~gd% (14.10)
где
xPaUa = O, (14.11)
а коэффициенты Фа, Tap удовлетворяют равенствам (13.16). Обоснование условия (14.11) полностью аналогично обоснованию первого условия (13.16) с заменой фа на і|з“ и Ф„ на xFa. Смысл равенств (13.16) тот же, что и в § 13, но при обосновании последнего равенства (13.16) наряду
с соотношениями (13.18) следует учесть, что вариации бея|)“,
200
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
соответствующие бесконечно малому преобразованию Пуанкаре ГСК наблюдателя, равны нулю
В рассматриваемой модели сплошной среды все вариации в уравнении (14.9), очевидно, выражаются через вариации определяющих параметров (14.4)
и производные от них по координатам Iу. Система вариаций (14.13) не является независимой, так как функции <Pa(EY)> (?Y) должны удовлетворять связям (13.5), (14.3). Учитывая первую из них методом неопределенных множителей Лагранжа, по-прежнему получим соотношения
(13.21)-(13.23). Аналогичная процедура для второй связи приводит к соотношениям, получающимся при замене в (13.21) — (13.23) величин сра, А,(ф), бRw на ^a, Xmt бRm. В результате к левой части вариационного уравнения
(14.9), вообще говоря, следует добавить функционалы бRw и бRm. Однако множитель А,(ф), который находится точно так же, как и в § 13, оказывается равным нулю. Совершенно аналогично вычисляется множитель Xm, который также равен нулю. Поэтому б/?(ф) ==8Rm = 0, и можно использовать непосредственно уравнение (14.9).
Динамические уравнения для непрерывных процессов. Вычислим вариацию действия для рассматриваемой сплошной среды, используя формулы (14.2), (14.6)-(14.8), а также выкладки, проведенные в § 13. В результате получим
+1 /«]6Ла| V-gd*t-j j {(7? + + Pffi) Sxa+
681|)а = 0.
(14.12)
Satv, бф“, бф, бг|)а, 8Ла
(14.13)
бЛа}/р^. (14.14)
? 14!
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
201
Здесь
а компоненты Pap по-прежнему определяются равенством
(13.26), если в нем для функции U использовать ее выражение в рассматриваемой модели.
Подставляя в вариационное уравнение (14.9) выражения (14.14) и (14 10) для 6/ и 6W*, преобразуя последние слагаемые в функционале 8№* так же, как в § 13, и используя тождества (13.29), найдем систему динамических уравнений для непрерывных процессов и функционал 6Wг)
VpTaP = O, TaP = 7?/, + /** + />“?> _т«Р, J^- = T, (14.18)
- TvvP - “PVv + cwPvW (vvlP J^) = °v - (I4 19)
- FayUa - Y?Vp - Щ. uPVpMY + cuPV[P (т*]р -? ='Fv-
(14.20)
VpF“P = — ^Ja, Ja = cpZua + /“, (14.21)
Первое уравнение (14.18) с учетом второго представляет собой уравнение движения проводящей среды в электромагнитном поле. Ниже будет показано, что оно совпадает с уравнением энергии-импульса, вытекающим из теоремы Нётер, причем компоненты Tap являются компонентами тензора энергии-импульса сплошной среды и электромагнитного поля. Последнее равенство (14.18) по-прежнему можно рассматривать как определение обобщенной абсолютной температуры. Уравнение (14.19)
*) При этом надо учесть, что вариации 6?, 6tpa, 6<p, 6i|?a, 6Аа
являются независимыми, а коэффициенты при вариациях 6q>°, бг|з° в функционалах 6/, 6W* тождественно равны нулю. Именно поэтому неопределенные множители Лагранжа A,(q)), обращаются в нуль.
(14.17)
(14.16)
(14.22)
202
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
ГГЛ. 5
полностью совпадает с уравнением (13.31) модели сплошной среды, рассмотренной в § 13, и имеет тот же физический смысл. Уравнение (14.20) служит для определения компонент 4-вектора плотности электрического тока проводимости и вместе с уравнением баланса электрического заряда
(5.12) описывает процесс переноса электрического заряда в сплошной среде. Уравнения (14.21) вместе с соотношениями (5.35) и (14.2) образуют записанную в четырехмерной форме систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в проводящей сплошной среде. Замыкающие систему уравнений (14.18)-(14.21) законы, которые можно использовать для определения величин таР, Фу9 Ty, рассмотрены ниже в настоящем параграфе. При этом оказывается, что в отсутствие перекрестных эффектов (CM. ниже) уравнения (14.19) и (14.20) после подстановки в них выражений для Фу и Wy можно рассматривать как релятивистские обобщения закона теплопроводности Фурье и закона электропроводности Ома.
Условия на разрывах. Ограничимся исследованием разрывов, на которых функции xv (?Y) непрерывны. Рассмотрим сначала кинематические соотношения, связывающие между собой значения вариаций определяющих параметров на двух сторонах гиперповерхности разрыва Sr. Для вариаций 6jcv, 6cpa по-прежнему примем соотношения
