Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 61

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 91 >> Следующая


i + pa^-O, 1-1+0*?; (13.91)

О®Cs +?)'*’-p(v-f>).

PT-*/*. (13.92)

_ - P (р +S-) 8*. + р ? + т«;

^_Гв*_х(-в.Г+Й|р^.), Т-%: (13.93)

x*? = X6ft? dpvP + Ii DikVgh уаЬ = SkqXkaX4by Sa = Usk,

Pk (дхЬ\ Za (dla\ k (dxk\ (13.94)

x°=[^)r &* = fe4’ vk=v=Ы|«*

Здесь через qk, pkg, "tkq обозначены величины, полученные в результате преобразования Галилея компонент q*k, p*kq, х*кч при переходе от ГСК x*v к ГСК xv. Если ГСК х*у выбрана специальным образом, указанным выше, то из равенств q*° = p*0v = x*0v= 0 следует, что qk = q*k, Pkq =

§ 14. Проводящая среда и электромагнитное поле

Определяющие параметры. Рассмотрим модель проводящей среды и электромагнитного поля, для которой лагранжиан имеет вид1)

A =---JirFapFc*-і JaAa-pU (р, уар, 5, S“, Z, ив).

____________ (ИЛ)

1J Здесь предполагается, что величины Fa^ определены равенст* вом Fap«V|.ay4^, а компоненты Ja выражены через параметры электрического тока \|Я при помощи соотношения (5.14). При этом функционал SW* определяется формулой (14.10) и не содержит членов с вариациями 6Ла. Возможно также другое определение лагранжиана [20], при котором величины Fa$ и Aa варьируются независимо^ соотношение FaPeVlaZlp1 получается в качестве уравнений Эйлера при вариациях 6Fa&, член — CT1JaAa не входит в лагранжиан, а функционал SW* содержит члены с вариациями 6Ла.
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ

197

Здесь Fa^ — компоненты тензора напряженности электромагнитного поля, Aa — компоненты его 4-потенциала, Ja — компоненты 4-вектора плотности электрического тока, Zs = г/р — удельная плотность электрического заряда (г — собственная плотность электрического заряда), /“ — компоненты плотности электрического тока проводимости. Эти параметры были определены во второй главе. Остальные аргументы лагранжиана (14.1) те же, что и в § 13. В нерелятивистской механике лагранжиан может зависеть от плотности электрического заряда, например, для униполярно заряженных сред, в которых он пропорционален плотности числа заряженных частиц. При этом включение в число аргументов релятивистского лагранжиана наряду с Z = г/р, вообще говоря, и компонент /а обусловлено соображениями, аналогичными изложенным в § 13 при обсуждении выражения (13.1) для А (с заменой S9 S9 Sa соответственно на Z9 Z9 /а).

Ha основании равенств (2.8), (5.1), (5.33), (5.36) легко установить, что единица измерения величины Cr1JaAa полностью определяется выбранной системой единиц измерения собственного времени, расстояния и массы. Однако единица измерения электрического заряда, а следовательно, и единица измерения напряженности электромагнитного поля при этом остаются произвольными (см. § 2). Поэтому, выбирая различным образом единицу измерения электрического заряда, можно получить вместо коэффициента (16л)"1 при первом слагаемом в выражении (14.1) для Л любой другой положительный коэффициент. В рассматриваемых ниже моделях единицы измерения всех электромагнитных величин полностью определяются единицами измерения собственного времени, расстояния, массы и электрического заряда. Система единиц измерения этих величин, которой соответствует выбранное значение (16л)~1 указанного коэффициента, называется гауссовой.

Напомним некоторые свойства аргументов лагранжиана (14.1). Для компонент Z7ap и Ja имеют место выражения (см. § 5)

/гае = ^[аЛр) = а1аЛр], Ja = сгиа + /“, U0Ja = О, (14.2)

причем параметры г, /“ должны удовлетворять дифференциальному уравнению баланса электрического заряда

(5.12). Для них справедливы полученные в § 5 параметрические представления через функции aj)a(?v), связанные
198 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5

между собой простым соотношением

Uatya = 0. (14.3)

Свойства остальных аргументов лагранжиана те же, что и в § 13. Все аргументы лагранжиана (14.1) выражаются через функции

ф(^), Г (iY), Aa №) (14.4)

и их производные. Поэтому функции (14.4) удобно выбрать в качестве определяющих параметров \iA (I?). При фа = Aa = O они совпадают с определяющими параметрами, введенными в § 13.

Вычислим вариации аргументов функции —g>

используя полученные во второй главе их выражения через определяющие параметры (14.4).

1. Вариации компонент тензора напряженности электромагнитного поля. На основании выражения (14.2) для Fa^ имеем

SF0Q = 8 (діаЛр]) = д[а бЛрі = Vlct (14.5)

после чего с учетом формул (7.12), (7.13) для Sgtx^9

$У—g найдем

6 (тжг ^i)~6 (tkVs"*'V») -

= (¦- Ш бЛ“ + 8x*)V=g, (14.6)

Т$ - ( - Fay+ } FvefvVp) •

2. Вариации компонент Ja V—S- Используя параметрическое представление (5.14) для Ja, второе тождество (1.36) и равенства «v = ЬЦУgoo. У — g = VУ Vgoo* найдем

б {Ja V=g)=б (с K=I Vv =б (са^б?1)=

= Cdy = с V=I Vv

Поэтому

б (j JMa К=?) - (± J*6Aa + AaVy V=g- (14.7)
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ

199

3. Вариации удельной плотности электрического заряда Z и компонент 4-вектора плотности электрического тока проводимости ja. Легко видеть, что параметрические представления (6.27), (6.28) для собственной плотности энтропии s и компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sfxy а также определение S = S/р для удельной плотности энтропии 5 при формальной подстановке
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed