Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
A = — рУ (р> Sf Yap» *в), (13.77)
то рассмотренную общую модель нелинейно-упругой теплопроводной вязкой среды можно построить, не вводя параметров переноса и производства энтропии cpY, ф и их вариаций [4—7, 15, 16, 19]. Для этого следует в качестве определяющих параметров вместо функций (13.6) взять функции Xv(^y), 5 (Iy) и определить функционал 6W* равенством
SW * = і- J [рГ 8S + - J T5<aup>j Vp 6xa] V^g
Vlic
(13.78)
Считая вариации 6xv, SS независимыми, снова получим динамические уравнения (13.30) и несколько другое выражение для функционала 6W9 которое получается из выражения (13.32) при 6ф*У = 0. Компоненты Pap, входящие во второе равенство (13.30), определяются соотношением
(13.26), в котором следует положить dU/dS6 = 0, dU/dS = = Т. Так как теперь функционал бW не содержит слагаемых с вариациями 6ф^ то, приравнивая его нулю, получим на разрыве только первое динамическое условие
(13.46). Второе же условие (13.46) должно задаваться на основании дополнительных гипотез. Выражения для компонент тензоров энергии-импульса и момента количества движения по-прежнему имеют вид (13.53). Поэтому при dUIdS6 = O плотность внутренней энергии среды, определенная равенством (13.54), равна лагранжиану, взятому с противоположным знаком, т. е. р[/. Следовательно, функция U в равенстве (13.77) представляет собой удельную плотность внутренней энергии среды. Для компонент Mai Wa вместо выражений (13.55), (13.56) теперь получим
Ma = - TSa = - Cfa1 Wa = сПаи^
В результате инвариантное уравнение энергии (13.58) остается в силе, а вытекающее из тождества (12.10) соотношение (13.59) принимает вид
PT g + (т<# - I T5<“ыр>) VpCUa = - VaTSa. (13.79)
7 Л. Т. Черный
194
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
Учитывая уравнение баланса энтропии (12.13) и условия UaUa= I, UaSa = Ot равенство (13.79) можно преобразовать так, что оно будет совпадать с выражением П3.61) для а, в котором компоненты Фа по-прежнему определяются равенством (13.31) при dU/dS6 = 0. Поэтому соотношения (13.62) — (13.68), определяющие необратимые эффекты вязкости и теплопроводности, остаются в силе. Однако для обратймых процессов функционал 6W* не равен нулю. Например, при х = оо, X = ^x = O он определяется выражением (13.78), если в последнем положить
Ta^ = 0.
Переход к ньютоновской механике. Рассмотрим, какой вид принимают полученные в настоящем параграфе уравнения нелинейно-упругой теплопроводной вязкой сплошной среды при переходе к ньютоновской механике, т. е. при с-+оо. В случае, когда все параметры хв ортогональны 4-скорости среды, имеем
Учитывая также равенство у“ = 0, выполняющееся в CCK Iа, выражение для компонент тензора энергии-импульса можно записать в форме
Tap = ?uaup + - u<V> - pap, t = P (U - Sa),
Г (13 80)
e _ р (р W + W. 70ф + р Y(«VP> + Xap.
Так как Utffi = 0, Upjoap = 0, то в любой ГСК Xv имеем
Рассмотрим произвольную точку х* в пространстве событий и выберем собственную для нее ГСК x*v так, чтобы в трехмерном физическом пространстве, соответствующем ГСК наблюдателя xv, оси х*к были параллельны оеям хк. Тогда относительно ГСК x*v уравнения (13.2),
(13.30), (13.31), (13.65) в рассматриваемой точке х* примут с учетом выражений (13.80), (13.81) следующий
Aoa «“ = О, U (р, Yap, s, Sa, хв) = U (р, Yo*, 5, Sat хв).
(13.81)
§ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 195
вид:
|? + р(3*гЛ)* = 0; (13.82)
Ц + Ш (d*o*)* + I q*> (?)* = р*** (3,?)* -3&7**,
?[«(?)*-*•*№)•+??]- <13-83>
= 3*р*л? — ^ (<7<« 3<ги*>)*;
р«9==_р(р|' + ^5а|6*» + р^_х*<^> + ти=*?. (13.84)
Фї-«г-а*^р^ + ^г(^)*. T-g; (13.85) q*»==TS*k = — %<bZ, T*ft? = Х6к^8РпЄрп + 2\ie%q. (13.86)
Здесь были использованы равенства
(d?)* = ?^* <^)*=а*<7**« (OgPkI)* = д*р*»*, (13.87)
вытекающие из ортогональности компонент и 4-ско-рости среды и принятого выше специального выбора собственных ГСК **v, а также тождество
(Щ+ IT (dkV9)* = 0. (13.88)
Для компонент Va*. Sa, очевидно, справедливы выражения
Уаь = І^хТхТ = 5« = ?v*aS*v = (13.89)
Как отмечалось в § 2, в релятивистской механике энергия всякой материальной точки массы т состоит из энергии покоя тс2 и кинетической энергии, которая остается конечной при с-* оо. Поэтому при C-^OO имеем
ш = PC2 + Г, U = с2 + и°. (13.90)
Для перехода к ньютоновской механике, очевидно, нужно опустить в уравнениях (13.82) —(13.86) слагаемые, пропорциональные Cr29 и затем перейти от ГСК x*v, собственной для точки я*, K ГКС Xv9 общей для всех точек, используя для тензорных величин преобразования, получающиеся из преобразований Лоренца при с-*-оо, т. е. преобразования Галилея. Если конкретное выражение для Uq зависит от значения с, то соответствующий пре-7*
196
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
дельный переход надо провести и в нем. При этом, например, может исчезнуть зависимость U0 от компонент Sa. В общем случае, когда при с -*¦ со число аргументов функции U0 не меняется, в результате указанной выше процедуры получим следующие ньютоновские уравнения нелинейно-упругой теплопроводной вязкой среды, инвариантные относительно преобразования Галилея:
