Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(I =? і sg; п).
$ 2] МАТЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ПОЛЯ 19
При п=1, т. е. для векторного поля, равенства (1.43) и
(1.44) упрощаются:
( (У~ё. «“) d% = J а“/а d3C, (1.45)
V E
S (V) K=Ir d*l = 5 d%. (1.46)
У E
В формулах (1.43)- (1.46) предполагается, что система координат t>k выбрана так, что определенный равенством (1.38) вектор / удовлетворяет в каждой точке гиперповерхности S неравенству
(/ dr) = (/v d*v) = (Ia dl«) > О, (1.47)
в котором dr — произвольный бесконечно малый радиус-вектор, направленный из точки гиперповерхности 2 наружу по отношению к области V.
§ 2. Материальные точки и поля
Материальные точки. В пространстве событий 1J всякой материальной точке соответствует некоторая кривая, называемая ее мировой линией. Положение этой линии относительно ГСК наблюдателя можно задать при помощи
функций
Jcv = Xv(A) (v = 0, 1, 2, 3; дх°/дД>0, Д>0),
у которых аргументом является положительный интервал, отсчитываемый вдоль данной мировой линии. Тогда вектор и, определенный равенством
и = Mvav=^av, (2.1)
называется четырехмерной скоростью (4-скоростью) материальной точки. Учитывая вытекающее из определения интервала равенство
dA = Cdt УI-vI, (2.2)
для компонент 4-скорости получим выражения
Л , (^ = ?. (2.3)
1>2/с2 С V 1—vW \ dt I v 1
1J Здесь и в дальнейшем имеется в виду пространство событий
Минковского.
20
ОСНОВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. 1
Здесь V9 Vk- модуль и компоненты обычной трехмерной скорости материальной точки. Заметим, что компоненты иУ являются безразмерными величинами, а сама 4-скорость — это единичный вектор, касательный к мировой линии материальной точки1):
. ч dxv dxv , dx , v / а \ л \ а\
(и, и) &^5д~5д~— * ^ — dA ^ —х (A)Sv). (2.4)
В произвольной криволинейной системе координат ?а выражение для 4-скорости можно записать в виде
где функции Iа (А) задают положение мировой линии рассматриваемой материальной точки относительно системы координат ?а, a х (А) — радиус-вектор точек, лежащих на мировой линии.
Так как свободная материальная точка движется относительно ГСК прямолинейно и равномерно, то для нее 4-скорость постоянна вдоль мировой линии, которая является прямой. Рассмотрим систему материальных точек, взаимодействующих между собой только при столкновениях, в результате которых изменяются их 4-скорости и, возможно, внутренние свойства. Тогда в промежутках между столкновениями такие материальные точки можно рассматривать как свободные. Оказывается, каждой материальной точке соответствует положительное число т (называемое ее массой покоя или просто массой и сохраняющее постоянное значение при свободном движении), такое, что при любом столкновении выполняется равенство [3]
Здесь индексы минус и плюс указывают на то, что суммирование производится по всем материальным точкам соответственно до и после столкновения. Заметим, что число точек и сумма их масс покоя могут в результате столкновения изменяться. И только, когда с = оо (при этом, согласно (2.3), и° = 1), из равенства (2.6) следует закон сохранения массы, применяющийся в нерелятивистской механике. Вектор р — сти называют четырехмерным
(2.6)
*) Вектор и по определению указывает положительное направление на мировой линии, причем ы° = с&°/с(Д > 0.
МАТЕРИАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ПОЛЯ
2Ї
импульсом (4-импульсом) материальной точки. Его компоненты имеют вид
ft ft тС Ь Ь mVk /О *7\
P0 = Cma0 = -T=, р = сти = -у................¦-=¦. (2.7)
^ Kl-If2/C2 Н /1_и2/с2
Величины cp0 = mc2/YI — v2/c2 и pk называются энергией и компонентами импульса материальной точки. Энергия материальной точки относительно ГСО, в которой V = O9. называется ее энергией покоя. Энергия движущейся материальной точки состоит из энергии покоя тс2 и кинетической энергии. При с->оо из равенств (2.7) для кинетической энергии и импульса материальной точки легко получить обычные нерелятивистские выражения
Iim (ср° — тс2) = ~ mv2y Iim pk = mvk.
с-* CO C-* CO
Таким образом, равенство (2.6) представляет собой релятивистский закон сохранения энергии и импульса или 4-импульса системы материальных точек.
Отметим, что из равенств (2.7) вытекает возможность существования материальных точек, у которых т = О, v = c9 а 4-импульс р конечен, отличен от нуля и удовлетворяет соотношению (р9 р)=0. Для таких материальных точек интервал, отсчитываемый вдоль мировой линии, равен нулю, и невозможно ввести единичный вектор 4-скорости. Касательный вектор к мировой линии, конечно, существует, но его скалярный квадрат равен нулю. Существование таких материальных точек (с т = 0) —чисто релятивистское явление, не имеющее аналога в классической механике.
Электромагнитное поле и электрические заряды. При изучении движения материальных тел в физическом пространстве и во времени наряду с материальными точками приходится рассматривать идеализированные объекты иного рода, называемые полями [1—5]. К ним относится электромагнитное поле Максвелла, под действием которого может изменяться движение некоторых материальных точек, если их мировые линии попадают в область пространства событий, где присутствует электромагнитное поле. В свою очередь такие материальные точки создают в пространстве вокруг себя собственное электромагнитное поле, вообще говоря, изменяющееся во времени, которое искажает внешнее электромагнитное поле. Таким образом.