Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что в рассматриваемой модели лагранжиан, динамические уравнения для непрерывных процессов, динамические условия на разрывах, динамические тождества и коэффициенты при вариациях в функционале бW* зависят от параметров переноса и производства энтропии <ра, ф только через величины S = Sfp9 Sat о. Поэтому после построения модели параметры фа, ф можно не использовать, если добавить к динамическим уравнениям еще уравнение баланса энтропии.-
Специальные модели. Модель сплошной среды, для которой лагранжиан Л и функционал бW* имеют вид
(13.1), (13.15), является моделью нелинейно-упругой теплопроводной вязкой среды. Рассмотрим некоторые частные случаи, отвечающие специальным выражениям для лагранжиана и функционала &W*.
Если Cfa = Ot то среда называется нетеплопроводной. В этом случае Sa = Ot параметры переноса энтропии фа исключаются из числа варьируемых функций и пропадают динамические уравнения и условия на разрывах, получаемые при варьировании функций фа(?*). Если среда еще и невязкая, т. е. Tap = O, то а = 0, и из числа варьируемых функций исключаются также параметры производства энтропии ф(^), после чего функционал &W* тождественно обращается в нуль. При этом температура T по-прежнему определяется равенством T = dU/dSt причем удельная плотность энтропии S = s/p для непрерывных процессов остается постоянной вдоль мировых линий среды и является неварьируемой функцией, определяющейся начальными условиями и условиями на разрывах.
$ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 191
Если лагранжиан зависит от компонент уар, Sa (при фиксированной плотности р) следующим специальным образом:
Л = -р{/(р, S, Yaj5SaSP, кв) (13.69)
и все параметры кв — скаляры, то соответствующая среда называется газом1) (или жидкостью). Когда хаотические скорости микроскопических частиц, образующих газ, близки к максимально возможной скорости с и средняя плотность энергии их хаотического движения много больше средней плотности энергии покоя частиц, газ называется ультрарелятивистским. В этом случае след тензора энер-гии-импульса газа можно считать равным нулю [17], и на основании соотношений (13.26), (13.65), (13.69) получим
Га“^/>а“-та“ = р(/-3р*|-
- 6р--- ft Yv6SvS6 - (ЗХ + 2ц) е-У = 0. d(VapSaS3) Гї Г v*
Отсюда следует, что для теплопроводного вязкого ультра-релятивистского газа
ЗХ+2ц = 0, U = C(S, P-aYaPSaSfi)Vp• (13.70)
Первое равенство из (13.70) означает, что в ультраре-лятивистском приближении объемная вязкость газа обращается в нуль [18]. Второе равенство из (13.70) определяет общий вид функции U для ультрарелятивистского газа.
Рассмотрим более подробно модели газа (не обязательно ультрарелятивистского), для которых лагранжиан не зависит от Sa. В этом случае функция U совпадает с удельной плотностью внутренней энергии газа, а полученные выше выражения для компонент тензора энергии-импульса, компонент 4-вектора плотности потока тепла и компонент 4-тензора вязких напряжений принимают известный вид
Ta^ = рUuaufi + py“p + j u<aqfi> — т“р, р==р2*~,
= — X (YapVgT + T1MpVpUa), (13.71)
Tap = X,YapYv4« + 2^р.
1) Как известно (1), и в нереляти»истской механике модель газа
является частным случаем общей модели нелинейно-упругой среды.
192
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
Скалярная величина р называется давлением газа. Для ультрарелятивистского газа из вторых равенств (13.70),
(13.71) следует, что давление связано с плотностью внутренней энергии газа известным соотношением [3]
Для фиксирования конкретной модели газа часто вместо удельной плотности его внутренней энергии U (р, S9 хв) удобно задавать удельную плотность свободной энергии газа F (р, T9 кв). Она определяется равенством
в котором удельная плотность энтропии 5 предполагается выраженной через аргументы р, T9 хв из соотношения T = dU/dS. Функция F (р, T9 кв) часто имеет более простой вид, чем функция U (р, S9 кв). При помощи равенств
все основные уравнения модели теплопроводного вязкого газа можно записать, используя функцию F вместо U. Если
где C0, Cy9 R9 U0- постоянные, то соответствующая модель называется совершенным газом с постоянной теплоемкостью [1]. В этом случае
T = d^ = C0pR/cves/Cv, U = CvT+ U0, р = RpT. (13.76)
Постоянная Cv называется удельной теплоемкостью при постоянной плотности, a R — газовой постоянной. Величина U0 может включать в себя, в частности, среднюю удельную плотность энергии покоя образующих газ частиц, равную с2. Выражения (13.75) для UnF могут использоваться для описания слаборелятивистского1) и
(13.72)
F = U(р, S, хв) —TS,
(13.73)
u=c0cvP/i/V/Cv+u0,
(13.75)
1) Газ называется слаборелятивистским, если хаотические скорости образующих его микроскопических частиц много меньше максимально возможной скорости с.
УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА
193
ультрарелятивистского газов. В последнем случае в них в соответствии с соотношением (13.70) следует положить Cv = 3/?, U0 = 0.
Если лагранжиан не зависит от компонент 4-вектора внутреннего потока энтропии Saf т. е.
