Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая затем параметрические представления (6.28),
(6.29) для компонент 4-вектора внутреннего потока энтропии Sa и диссипативной функции а, а также выражение
(3.36) для компонент 4-тензора скоростей деформаций еа$, представим равенство (13.59) в окончательном виде:
a = —S01^ + *0^. (13.61)
Оно представляет собой тождество, которому должны удовлетворять величины Т, Фа, т“Р, присутствующие в выражении (13.15) для функционала бW7*, соответствующего модели теплопроводной вязкой среды.
Необратимые процессы. Чтобы завершить построение модели теплопроводной вязкой среды, необходимо еще задать законы, определяющие независимо от динамических уравнений коэффициенты Фа, при вариациях в выражении (13.15) для функционала 8W* как функции определяющих параметров и их производных 1J. Для этого используем общую теорию, изложенную в § 12. Рассматривая величины — Т~1Фа, T-1Caр как обобщенные термодинамические силы Xts, а Sa, Tap-KaK сопряженные им обобщенные потоки Jb, найдем, что соотношение (13.61)
1J Величина T в выражении (13.15) для функционала 8й?* не может задаваться независимо от Фа, TaP, так как должно выполняться тождество (13.61).
188
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
имеет вид (12.11). Применяя затем общие линейные законы (12.21), для необратимых процессов, близких к обратимым, получим кинетические уравнения, которые можно использовать для определения величин Фа, Tap в функционале 6№*:
TSV-----^ФФ)Фа + веаР,
T** =-Lf&Oy+ lffieyt.
Входящие В НИХ феноменологические коэффициенты Ьву вообще говоря, являются тензорными функциями от определяющих параметров (13.6) и их производных (например, от величин Yap, р, T ==d(//dS), а также от известных параметров кв. Эти функции должны задаваться дополнительно на основании теоретических гипотез и экспериментальных данных. Указанные коэффициенты Lb удовлетворяют неравенствам, вытекающим из неотрицательности диссипативной функции а, и условиям
uyL}фф) = UyLj&e) = 0, UaLfeo) = UaLfeeJ6 = 0,
«’-«'*=0, <!13-И)
следующим из тождеств MY5Y = MaTap = Ttapl = 0. Так как между обобщенными термодинамическими силами — T-1Oa, Т-1еар существуют зависимости
Ma(T-1Oa) = O, Ma(T-^ap) = O, T-Vw = O, (13.64)
то коэффициенты Lb определяются неоднозначно. При этом, однако, согласно термодинамике необратимых процессов [9—14], должно существовать такое представление коэффициентов Lb> в котором они удовлетворяют соотношениям Онсагера — Казимира (12.23).
В дальнейшем ограничимся простейшим случаем, когда уравнения (13.62) имеют вид
TSV = XtDY, ^ = ^^6^ + 2^. (13.65)
Входящие в них скалярные величины %, %, ц, вообще говоря, являются некоторыми функциями от определяющих параметров и их производных (например, от р и T = dt//dS), которые должны задаваться дополнительно. Соотношения (13.65) определяют величины <Da, Tap, входящие в выражение (13.15) для функционала 8W*, причем они действительно удовлетворяют условиям (13.16),
УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА
189
так как
UaSa = 0, иауа$ = иаеа$ = 0, = 0.
Исключая при помощи первого равенства (13.65) компоненты Фу из динамического уравнения (13.31) и учитывая определение (12.19) 4-вектора плотности потока тепла, получим соотношение
qy ^ TSy=-X (у^рТ + TufiVpuy -CufiVlРр^ Yvej), (13.66)
совпадающее при SUfdS6 = O с известным релятивистским обобщением закона теплопроводности Фурье [15, 16]. Второе равенство (13.65) в собственной ГСК совпадает с законом вязкости Навье — Стокса и, следовательно, представляет собой его релятивистское обобщение. Величины Tap называются компонентами 4-тензора вязких напряжений. Множитель % называется коэффициентом теплопроводности, а множители X9 \i — коэффициентами вязкости.
Используя кинетические уравнения (13.65), выражение (13.61) для диссипативной функции а можно представить в виде1)
<Т = - X-1SvSv + T-1 (X (е& + 2^Чр). (13.67)
Условие неотрицательности диссипативной функции (см. §6) накладывает ограничение на коэффициенты %, X9 |х
М^О, ЗХ + 2|д^0. (13.68)
Если х = оо9 X = Ii = O9 т. е. среда обладает идеальной теплопроводностью и нулевой вязкостью, то из соотношений (13.65), (13.67) и параметрического представления
(6.29) для диссипативной функции о следует, что
(Dv = O, т«Р = 0, а = 4= — =0-
Yy дх
На основании последнего равенства функцию ф = ф(?л) можно отнести к числу неварьируемых параметров кВ9 определяемых начальными условиями, и функционал &W* = 0. Отметим, что для идеально теплопроводной среды динамическое уравнение (13.31) при dU/dS6 = 0 принимает
1J Во избежание недоразумений отметим, что
3
_5?<SY=_g|iVsn'5*v= 2 (S*
190
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
известный вид:
YvvP7, + TuPVpMy = O.
Если х = Х, = ц, = 0, т. е. среда обладает нулевой теплопроводностью и вязкостью, то
S« = _L^ = 0, т“Р = 0, O = -L- = O.
Vy dx Vy At
При этом параметры ср (Ib)t ср° (Ib) можно отнести к числу неварьируемых параметров хв и функционал б№* равен нулю. В обоих предельных случаях все процессы обратимы (а = 0), и исходное вариационное уравнение (13.19) с учетом равенств 6№*=0, 6№с = 0 при вариациях 6(pY, Sxv9 обращающихся в нуль на границе области Vt сводится к голономному уравнению б/ = 0, выражающему принцип экстремальности действия.
