Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(13.34):
Очевидно, что при а= 1, 2, 3 отсюда получаем равенство
(13.38), а при а = 0 — равенство /а [6фа]_ == О, являющееся следствием равенства (13.38).
В рассматриваемом случае (при UaIa Ф 0) поток энтропии через гиперповерхность разрыва, вообще говоря, не является непрерывным. Используя параметрическое представление (6.30) для компонент 4-вектора плотности потока энтропии и тождество (9.37), получим для локальной скорости изменения энтропии на разрыве ос следующее выражение:
Первое слагаемое в правой части этого равенства на основании соотношений (9.9), (13.34), (13.38), (13.41), (13.42) равно нулю. Поэтому
где |G| = |7a/a|, а параметр производства энтропии>.<р(?а), вообще говоря, может терпеть разрыв.
Рассмотрим динамические условия на разрывах в случае, когда для вариаций Sxv, 8ф'у выполняются кинематические соотношения (13.33), (13.37), (13.38). Учитывая их и
(13.44)
KlGl
182
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
(ГЛ. 5
считая вариации Sxv, Ыру равными нулю на границе dV', представим выражение (13.32) для функционала 6№ в виде1)
6WC - -I 5 {{TMhV- бXl + {Vbj 6фї) d% (13.45)
К
Динамические условия на гиперповерхности разрыва Sc можно получить [8], задавая значение функционала бWc, определенного равенством (13.45). Если все внешние воздействия на сплошную среду, сосредоточенные на гиперповерхности разрыва, учтены в функционале 6U?*, то SWc = O (см. § 9). Вариации бл;^, бф* являются независимыми, а коэффициент при зависимой вариации бф° в выражении (13.45) тождественно равен нулю. Поэтому из равенства нулю функционала бWc вытекают следующие динамические условия на разрыве:
{7?^}! = о, {r[v/P] ^Lj+ = O. (13.46)
Записывая свертку по индексу P относительно ГСК наблюдателя и используя равенство /д = — (см. третье примечание к § 9), можно представить первое условие
(13.46) в виде
[Г;?]!/? = 0. (13.47)
Ниже будет показано, что первое равенство (13.46) совпадает с вытекающим из теоремы Нётер условием непрерывности на разрыве потока энергии-импульса сплошной среды. Второе равенство (13.46) вместе с соотношением баланса потока энтропии через гиперповерхность разрыва2) образует условия на разрыве для уравнения баланса энтропии. При иНа = 0, используя равенства (13.34), его можно
1J При UaIoc = O наряду с соотношением (13.37) необходимо использовать равенства (13.34). При UaIa Ф 0 следует учесть, что коэффициенты при вариациях 6<р^ в выражении (13.32) для 6И7* тождественно равны нулю, так как = Поэтому в указанном случае
для вывода формулы (13.45) достаточно соотношений (13.38)
2) Имеются в виду соотношения
Oc =E- ~{s*/a}i25 0, иЧаФ 0; {s«/aK = 0, иЧа=0.
KlGI
§ 13) УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 183
записать следующим образом:
[Г*-*
Отсюда находим бо [TVII = O. Подставляя в это равенства выражение (13.32) для Т$ и учитывая, что Yo=0> а величины U^ = Ygm непрерывны на рассматриваемом разрыве, окончательно получим
[Ti: = 0, иНа = 0. (13.48)
Назовем теплопроводной такую среду, в которой определенный равенством (12.19) 4-вектор плотности потока тепла g = TS может быть не равен нулю. В такой среде, очевидно, и 4-вектор внутреннего потока энтропии также, вообще говоря, не равен нулю. Тогда условия (13.48) означают, что если в теплопроводной среде на гиперповерхности разрыва 8Wc=0t UaIa==O и величины s, G внутри разрыва, рассматриваемого как бесконечно тонкий четырехмерный слой, остаются ограниченными, то на таком разрыве температура T = dU/dS должна быть непрерывной. Кроме того, как отмечалось выше, непрерывна и плотность потока энтропии через него:
{sala\:^\Sala}l = 0, UaIa = 0.
При иа1аФ 0 второе равенство (13.46) также можно упростить. Для этого умножим его на KyIv+ и преобразуем с учетом тождества (13.39) следующим образом:
№ {V», 7=}; - (F.E=
- WAA lr»L* - ("1U FX - (“"A I7Vi:=°- <¦*•«>
іЧожно показать, что при 1\1КФ 0 последнее равенство эквивалентно условию1)
(6U _ IHvIlHx) [TliE = О, и\ ф 0. (13.60)
Таким образом, если в теплопроводной среде на гиперповерхности разрыва SWc = O9 UvIv Ф 0, IvIv Ф0 и величина s внутри разрыва, рассматриваемого как бесконечно
1J Гиперповерхности разрыва, на которой IjJLk = 0, соответствует
в физическом трехмерном пространстве поверхность разрыва, движу-
щаяся с максимально возможной скоростью с
184
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. б
тонкий слой, ограничена, то на таком разрыве компоненты Ту, определенные вторым равенством (13.32), должны удовлетворять условию (13.50), в котором T =%?Гул Оно означает, что касательная составляющая 4-вектора к гиперповерхности разрыва непрерывна на нем. Если лагранжиан не зависит от компонент Sa, то Ty == Tuy9 и условие (13.50) дает
[FerLf = Ot Ut = U-^l. (13.51)
Динамические тождества. Из вариационного уравнения можно получить ряд динамических тождеств, т. е. соотношений, удовлетворяющихся тождественно в силу динамических уравнений. Для этого применим общую теорию, развитую в предыдущей главе. Сравнивая общие выражения (7.19), (9.1) и (10.13) для функционалов Ш*, 8W и вариаций 6е|лЛ соответствующих бесконечно малому преобразованию Пуанкаре (10.11), с их конкретными выражениями (13.15), (13.32), (13.18), найдем, что для рассматриваемой модели коэффициенты MAf Ma9 Mc^f WaA, Wa/, /Д, 1$, входящие в указанные общие выражения, имеют вид
