Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Всякому тензору а(/1) из можно поставить также в соответствие тензор а{п'2) ранга п-2 из применяя
операцию свертывания а{п\ определенную равенством
Свертывая произведение двух тензоров, получим тензор, называемый внутренним произведением или сверткой
дг(л)?(т) __ ^afxI ••• ••• $
3ai-a/z = 3ai... эа". (1.25)
§ 1] ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИИ минковского 15
исходных тензоров. Заметим, что свертывание тензора второго ранга приводит к скаляру (числу), который можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а внутреннее произведение двух векторов равно их скалярному произведению
Определим еще четырехмерные полностью антисимметричные символы Леви-Чивита е0^6, которые меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем е0123=1. Тогда величины
еоф\6 = -J- еа^6 (1.27)
V-g v
образуют компоненты тензора четвертого ранга, называемого полностью антисимметричным тензором Леви-Чиви-та г [1—4]:
8 = 8 «^ЭаЭ^ЭуЭь = еар у6ЭаЭ^ЭуЭ6.
Можно показать, что
8OtPvS = I^ ~ § ^0123 == 1» (1-28)
где еа$у& — полностью антисимметричные величины.
Отметим, что gap, ^ap, также образуют компоненты тензора g, называемого метрическим:
g=ga рЭаэР = ?аРЭаЭр = фаЭ*.
Элементы тензорного анализа в пространстве Минковского. Векторы базиса эа были определены выше в связи с системой координат Iа для каждой точки ? пространства событий Минковского. Производные дЭа/д?Р характеризуют криволинейность системы координат и могут быть представлены в виде
^f- = Ib(S)MS). d9a=^d&, (1.29)
где величины 1?, так же как и базис эа, являются функциями точки I из (Л и называются символами Кристоф-феля или коэффициентами связности. Очевидно, что в любой ГСК имеем Гар = 0. Легко доказываются также следующие равенства [1-4]:
I Jdga6 dg# dgrxti
16
ОСНОВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОНЯТИЯ
ГГЛ I
Учитывая соотношения (1.25) и (1.29), получим для производных от тензорных базисов формулы
Используя первое равенство (1.31), можно получить аналогичные соотношения для производных
Пусть в каждой точке ? из некоторой области пространства событий Минковского задан тензор а{п\ т. е. в этой области определено тензорное поле а{п) (?). Тогда, применяя к а{п) инвариантный вектор-оператор д, определенный равенством
получим тензорное поле да{п) (I) ранга п+ 1:
Для указанных здесь компонент тензора да(л), называемых ковариантными производными компонент тензора а{п), при помощи равенств типа (1.32) легко выводятся следующие выражения:
п
п
п
ai-lVai+Van
... Va1-
П
§ 11 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИИ МИНКОВСКОГО 17
Приведем еще ряд полезных соотношений, вытекающих из сформулированных выше определений и результатов [1-4]:
(^аго“г"а«) Эа1...а|_,аг+1...ап =
= (1.34)
^pv = v^ = Va6? = 0, Vaa“ = ^L=^lГ—ЦсР, (1.35)
V — g
(1.36)
Здесь aaP = — cfia — компоненты антисимметричного тензора второго ранга.
В заключение рассмотрим интегрирование по четырехмерной области V и трехмерной гиперповерхности 2 в пространстве событий Минковского [2—4].
Инвариантный интеграл по области V от заданного в ней тензорного поля а{п) (х) образуется обычным путем:
А{п) = $ а(л) (х) d4х = § а{п) (I) V — g d%
V V
где d*x = dx?dxl dx2dx3, = Он представ-
ляет собой тензор Л(л) того же ранга, что и а{пК Чтобы определить инвариантный интеграл по гиперповерхности 2 от заданного на ней тензорного поля а(л), введем на 2 систему координат ?* (&=1, 2, 3). Тогда положение 2 относительно систем координат Xv9 Iа задается функциями
Xv-HC1. Р. С3), ?a = P (С1, С2, С3)-
В связи с системой координат ?* для каждой точки ?, принадлежащей гиперповерхности 2, можно определить тройку касательных векторов /(Л):
/(*) = щъ = = f(k) = , (1.37)
и ортогональный им (в смысле псевдоевклидова скалярного произведения (1.17)) вектор /:
/ = Za^a, /а = ®а{5уб/?1 )/(2)/(3)* (1 -38)
> /(Л)) = l(xf(k) = — 8аруб/^)/(61 )/(3)/(% = O- (1.39)
18
ОСНОВНЫЕ релятивистские понятия
[ГЛ. I
Легко находятся скалярные произведения G*, касательных К S ВеКТОрОВ f{k)l
и выражение через ?* для квадрата интервала между двумя бесконечно близкими событиями, принадлежащими 2:
можно доказать, что скалярный квадрат вектора / связан с определителем G матрицы |С*Г| простым соотношением
Инвариантный интеграл по гиперповерхности S от заданного на ней тензорного поля а[п) (?) можно образовать следующим способом:
где d% = dt,і dt,3. Этот интеграл представляет собой тен-
зор ранга п — 1.
Пусть теперь гиперповерхность S является границей области V. Тогда для тензорного поля а(п\ заданного в замкнутой области V, имеет место формула Остроградского — Гаусса [2—4]
Используя соотношение (1.34), формулу Остроградского—Гаусса (1.43) легко представить в ковариантном виде:
(fib)' f(r)) — giivf'tk)f(r) = ga$f(k)ft) = Gkr (1-40)
dA* = gap dla dtf = gafifwftn Alk <%r = Ghr dt,k d^.
Используя тождество
Sg 6$
e“Pv4e:n=-
6« 6« 6«
(1.41)
(I, D = IHa = - 'gafifafl) I= — G. (1.42)
(I =? І 5? И),
Здесь введено обозначение