Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 5

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 91 >> Следующая


Всякому тензору а(/1) из можно поставить также в соответствие тензор а{п'2) ранга п-2 из применяя

операцию свертывания а{п\ определенную равенством

Свертывая произведение двух тензоров, получим тензор, называемый внутренним произведением или сверткой

дг(л)?(т) __ ^afxI ••• ••• $

3ai-a/z = 3ai... эа". (1.25)
§ 1] ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИИ минковского 15

исходных тензоров. Заметим, что свертывание тензора второго ранга приводит к скаляру (числу), который можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а внутреннее произведение двух векторов равно их скалярному произведению

Определим еще четырехмерные полностью антисимметричные символы Леви-Чивита е0^6, которые меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем е0123=1. Тогда величины

еоф\6 = -J- еа^6 (1.27)

V-g v

образуют компоненты тензора четвертого ранга, называемого полностью антисимметричным тензором Леви-Чиви-та г [1—4]:

8 = 8 «^ЭаЭ^ЭуЭь = еар у6ЭаЭ^ЭуЭ6.

Можно показать, что

8OtPvS = I^ ~ § ^0123 == 1» (1-28)

где еа$у& — полностью антисимметричные величины.

Отметим, что gap, ^ap, также образуют компоненты тензора g, называемого метрическим:

g=ga рЭаэР = ?аРЭаЭр = фаЭ*.

Элементы тензорного анализа в пространстве Минковского. Векторы базиса эа были определены выше в связи с системой координат Iа для каждой точки ? пространства событий Минковского. Производные дЭа/д?Р характеризуют криволинейность системы координат и могут быть представлены в виде

^f- = Ib(S)MS). d9a=^d&, (1.29)

где величины 1?, так же как и базис эа, являются функциями точки I из (Л и называются символами Кристоф-феля или коэффициентами связности. Очевидно, что в любой ГСК имеем Гар = 0. Легко доказываются также следующие равенства [1-4]:

I Jdga6 dg# dgrxti
16

ОСНОВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОНЯТИЯ

ГГЛ I

Учитывая соотношения (1.25) и (1.29), получим для производных от тензорных базисов формулы

Используя первое равенство (1.31), можно получить аналогичные соотношения для производных

Пусть в каждой точке ? из некоторой области пространства событий Минковского задан тензор а{п\ т. е. в этой области определено тензорное поле а{п) (?). Тогда, применяя к а{п) инвариантный вектор-оператор д, определенный равенством

получим тензорное поле да{п) (I) ранга п+ 1:

Для указанных здесь компонент тензора да(л), называемых ковариантными производными компонент тензора а{п), при помощи равенств типа (1.32) легко выводятся следующие выражения:

п

п

п

ai-lVai+Van

... Va1-

П
§ 11 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИИ МИНКОВСКОГО 17

Приведем еще ряд полезных соотношений, вытекающих из сформулированных выше определений и результатов [1-4]:

(^аго“г"а«) Эа1...а|_,аг+1...ап =

= (1.34)

^pv = v^ = Va6? = 0, Vaa“ = ^L=^lГ—ЦсР, (1.35)

V — g

(1.36)

Здесь aaP = — cfia — компоненты антисимметричного тензора второго ранга.

В заключение рассмотрим интегрирование по четырехмерной области V и трехмерной гиперповерхности 2 в пространстве событий Минковского [2—4].

Инвариантный интеграл по области V от заданного в ней тензорного поля а{п) (х) образуется обычным путем:

А{п) = $ а(л) (х) d4х = § а{п) (I) V — g d%

V V

где d*x = dx?dxl dx2dx3, = Он представ-

ляет собой тензор Л(л) того же ранга, что и а{пК Чтобы определить инвариантный интеграл по гиперповерхности 2 от заданного на ней тензорного поля а(л), введем на 2 систему координат ?* (&=1, 2, 3). Тогда положение 2 относительно систем координат Xv9 Iа задается функциями

Xv-HC1. Р. С3), ?a = P (С1, С2, С3)-

В связи с системой координат ?* для каждой точки ?, принадлежащей гиперповерхности 2, можно определить тройку касательных векторов /(Л):

/(*) = щъ = = f(k) = , (1.37)

и ортогональный им (в смысле псевдоевклидова скалярного произведения (1.17)) вектор /:

/ = Za^a, /а = ®а{5уб/?1 )/(2)/(3)* (1 -38)

> /(Л)) = l(xf(k) = — 8аруб/^)/(61 )/(3)/(% = O- (1.39)
18

ОСНОВНЫЕ релятивистские понятия

[ГЛ. I

Легко находятся скалярные произведения G*, касательных К S ВеКТОрОВ f{k)l

и выражение через ?* для квадрата интервала между двумя бесконечно близкими событиями, принадлежащими 2:

можно доказать, что скалярный квадрат вектора / связан с определителем G матрицы |С*Г| простым соотношением

Инвариантный интеграл по гиперповерхности S от заданного на ней тензорного поля а[п) (?) можно образовать следующим способом:

где d% = dt,і dt,3. Этот интеграл представляет собой тен-

зор ранга п — 1.

Пусть теперь гиперповерхность S является границей области V. Тогда для тензорного поля а(п\ заданного в замкнутой области V, имеет место формула Остроградского — Гаусса [2—4]

Используя соотношение (1.34), формулу Остроградского—Гаусса (1.43) легко представить в ковариантном виде:

(fib)' f(r)) — giivf'tk)f(r) = ga$f(k)ft) = Gkr (1-40)

dA* = gap dla dtf = gafifwftn Alk <%r = Ghr dt,k d^.

Используя тождество

Sg 6$

e“Pv4e:n=-

6« 6« 6«

(1.41)

(I, D = IHa = - 'gafifafl) I= — G. (1.42)

(I =? І 5? И),

Здесь введено обозначение
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed