Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
= (1.7)
в) для любых двух векторов а = avav, Ь = bv9v определено скалярное произведение (а, b):
(#, Ь) = у (^д» (1*®)
представляющее собой билинейную функцию относительно аргументов а, Ь.
Заметим, что из равенств a = avav = 0'v?v и формул преобразования (1.7) вытекает следующий закон преобразования для компонент аУ произвольного вектора а при переходе от одной ГСК к другой:
= а? = 11а'». (1.9)
Поэтому благодаря равенствам (1.5) скалярное произведение (1.8) инвариантно относительно перехода от одной ГСК к другой, т. е. относительно преобразований Лоренца (1.7) для векторов базиса Sv в <ЛХ.
Определим величины равенством g^VgvX = b%, из
которого следует, ЧТО gw = ?nv (д> V = O, ..., 3), и введем новые базисные векторы эц:
a» = g^av, (э*\ av) = 6», (э», sv)=g^. (1.10)
Тогда любой вектор а из qS1 можно представить в виде a = avav = avav, где av = gVVLa». Компоненты аУ и av называются соответственно контравариантными и ковариант-ными компонентами вектора а относительно ГСК, которой соответствуют базисы av, в еЛ1. Можно показать, что при переходе от одной ГСК к другой векторы и компоненты a^ преобразуются по формулам [1 — 4]
Э'» = /;^\ ah = I^av. (1.11)
Зафиксируем в пространстве событий Минковского какую-нибудь точку х0. Тогда любой точке х из <Л можно
12 ОСНОВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОНЯТИЯ [ГЛ. !
поставить в соответствие вектор X из векторного пространства оЖ1, определенный равенством
x(x) = (xv-xv)bv (1.12)
и называемый радиус-вектором события х относительно события X0. Из формул преобразования координат событий и векторов базиса Sv при переходе от одной ГСК к другой следует, что определение (1.12) радиус-вектора лг не зависит от выбора ГСК. Заметим, что векторы базиса Bv связаны с радиус-вектором х соотношением
3v = ?- (1-13)
а скалярное произведение (х, х) совпадает с квадратом интервала между событиями X0 и х.
Пространство событий Минковского и ассоциированное с ним векторное пространство называют псевдо-евклидовыми, так как в отличие от евклидовых пространств метрика ве^и скалярные квадраты векторов из Qjftx являются индефинитными.
В пространстве событий Минковского можно также ввести произвольную криволинейную систему координат |а [1-4]
Ia = Ia(^v)1 Xv = jtv(|a),
которая не соответствует никакой ГСО. Тогда выражение
(1.1) для квадрата интервала между бесконечно близкими событиями можно записать в виде
dA2 = ga(, d|“ =^Pa = (1-14)
В связи с системой координат ga для каждой точки из <Л определим компоненты
Sep=J^- г=1^|<о, ^gfiv = (1.15)
базисы в из касательных векторов Ba и взаимных векторов ва:
дх дх dxv дх* „ « # /і ic\
dxv d?a d?a v’ — ^ ^’ (1-І®)
контравариантные и ковариантные компоненты векторов аа и аа :
а = ааэа = ааэа, аа =
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИИ минковского
13
Для скалярного произведения векторов легко получить следующие формулы:
(Эа, Эр)—gafbi (Эа, Э^)—(Эа, Эр)—8р> jу*
(а, Ъ)
Четырехмерные тензоры. Наряду с четырехмерным векторным пространством oS1 для любого п> 1 введем тензорное пространство <Лп ранга п, представляющее собой 4Л-мерное действительное векторное пространство, в котором всякому базису эа из <Л1 соответствует базис Эаг...ап> преобразующийся по закону
при переходе от базиса эа к базису э«, определенном равенствами
Подчеркнем, что преобразование (1.19) —это произвольное невырожденное преобразование, вообще говоря, не сохраняющее скалярные произведения векторов базиса (Эа, Эр) = gap. Элементы пространства oSn называются тензорами ранга п (п^1). При помощи компонент^ в oSn можно определить еще ряд базисов, соответствующих базису Эа ИЗ <ЛХ\
Можно показать, что при преобразовании (1.19) векторы этих базисов преобразуются по законам [1—4]
Любой тензор а{п) из <Лп можно представить в виде линейной комбинации базисных тензоров:
(1.18)
э; = ^эр, Эа = Л&?е, LlNl = NlLl = ы. (1.19)
9а, ..
а1п> = аа»-"“ «э,
14
ОСНОВНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Коэффициенты в разложении (1.22), у которых все индексы только верхние или только нижние, называются контравариантными или ковариантными компонентами тензора а(/1), соответствующими базису эа или эа в Коэффициенты со смешанными индексами называются смешанными компонентами. Формулы для преобразования компонент тензора при переходе от базиса эа к базису Эа и соответствующем этому переходу преобразовании базисных тензоров (1.18), (1.21) легко находятся из условия инвариантности выражения (1.22) для а{п):
Так как тензорное пространство <JCn является ^-мерным векторным пространством, то в нем определены обычные операции сложения тензоров и умножения тензора на действительное число. Кроме этих операций, для любых двух тензоров а(л) из <Лп и Ыт) из <Jtm можно определить их произведение а{п)Ь{т), представляющее собою тензор ранга п + т из пространства &€п+т:
В силу ЭТОГО определения базисные тензоры Sa1...ап ИЗ оЛп представляют собой тензорные произведения векторов базиса эа из которому рассматриваемый тензор
Ba1...ап поставлен в соответств и е согласно определению тензорного пространства <Лп\
