Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
bW-bW =
- j [(^-t4)6^+(r'i’-^')-^]d3S = 0 (9.18)
dV+f-j-
Пусть на гиперповерхности dV + производные d8iiA/dfw равны нулю. В силу произвола в выборе вариаций 6ц ^ (|У) сумма
(№д-Гд)бцЛ (9.19)
является произвольной функцией на граничной гиперповерхности dV (суммирование производится по мультииндексу А). На гиперповерхности же разрыва произвольной функцией, вообще говоря, является только сумма значений величины (9.19) на двух ее сторонах1):
(^-#^)8^ + (1^-^)8^, (9.20)
так как значения определяющих параметров и их вариаций на двух сторонах гиперповерхности разрыва ?± могут быть связаны между собой кинематическими соотношениями. Например, если определяющие параметры \лА принадлежат к классу функций с заданным скачком на гиперповерхности разрыва то должны, очевидно, выполняться равенства 6jiА = 6jiА. Подобные кинематические соотноше-
1J В дальнейшем индексы плюс и минус указывают на то, что
значения соответствующих величин берутся соответственно на сторо-»
нах 2+ и 2_ гиперповерхности разрыва 2С.
УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ
107
ния, связывающие между собой значения [iA или Sjm будем также называть связями.
Сделанный здесь вывод о произвольности функций (9.19),
(9.20) на гиперповерхности dV + t± остается в силе также при наличии между вариациями Siny4 связей, допускающих функциональный произвол в выборе значений Sjni4 на гиперповерхности dV + ?±- Связи, рассматривавшиеся выше, очевидно, обладают таким свойством. Поэтому из равенства (9.18) вытекают соотношения
WAb»A = WAb»A,
6f4 + W-Abv± = W ?б^ +
которым должны удовлетворять коэффициенты Wa и Wa соответственно при Ev е OV и Iv є ?с.
Пусть теперь на гиперповерхности 3V+ % вариации 6ц (Iv) равны нулю, а их производные дбц^/д/'®' не равны нулю. Проводя для функций d&iiAldf{0) рассуждения, полностью аналогичные только что проведенным рассуждениям для функций Sfiy4 (Iv), получим соотношения
ПО)
а/'#1 — я дго> *
-і- W'V~ = + і IF11;1-
і ^wA QftJl W А 0ДО, TWA Qfi0t ,
(9.22)
которым ДОЛЖНЫ удовлетворять коэффициенты WtX и W1A соответственно при 1У ^dV и є ?с.
Равенства (9.21), (9.22) должны выполняться при любых вариациях б[хл и их производных 36[iA/df{0), удовлетворяющих наложенным на вариации 6ц4 связям.
Если связей нет, то при IvS dV + Ilc все вариации
б ,и-4 (|>) независимы между собой и все производные 36\iAldf{0) также независимы между собой. В этом случае из равенств (9.21), (9.22) вытекают соотношения W A=W А, W'a = W'X, Wj = W^, W(a ± = Wf t, доказывающие однозначность определения коэффициентов Wa, W1Jt1 в выражении (9.16) для функционала б№ при отсутствии связей между определяющими параметрами.
Коэффициенты Wa, W'% при вариациях 6ц^ и их производных db\xAldfв канонической форме (9.16) функ-
108
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 3
ционала бW можно рассматривать на граничной гиперповерхности dV как обобщенные поверхностные силы, соответствующие определяющим параметрам \iA (?Y) [11]. Для независимых определяющих параметров эти обобщенные силы однозначно выражаются через определяющие параметры и их производные и, следовательно, являются физическими характеристиками сплошной среды. Отметим также, что указанные выражения (9.17) для обобщенных сил содержат величины, характеризующие геометрические свойства рассматриваемой гиперповерхности dV: /а, /а\ dljdt
Условия на границах. На основании равенства (9.16) функционал бW имеет вид
ЙИ7 = 1 J (wA6^ + W'X^)dK +
+ I J ~ (WfWlaSlI*) d.%. (9.23)
dV -+2±
Условия на какой-либо гладкой (не содержащей ребер) части S' граничной гиперповерхности OV можно задавать, фиксируя на 2' значения определяющих параметров \лА (?>’) (кинематические условия) или задавая значения функционала бW на множестве функций б|ил[1і'], для которых 6[iA = d8\iA/df(0) =0 при координатах ?Y, не принадлежащих множеству 2' (динамические условия) [И]. Во втором случае
6W {6\iA [?']} =I J [wAtyA + WX^)d%, (9.24)
Г
где ?'/)(1*), W'a (^а) — заданные функции, определенные на множестве Для указанного множества функций бц"4 [Il'] первый интеграл в выражении (9.23) для функционала б№ сводится к интегралу по участку гиперповерхности І!'. Второй же интеграл в (9.23) тождественно равен нулю, так как он преобразуется в интеграл по двумерной границе участка гиперповерхности 2', на которой fyH = 0.
УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ
109
Сравнивая теперь выражения (9.23) и (9.24) для функционала 6№, найдем следующие равенства:
(№д-#л(?а))6^ = 0, (WX-W1Z(Ia))^ = 0, (9.25)
которые должны выполняться на участке гиперповерхности ІІ'. Их вывод дословно совпадает с выводом первых равенств из (9.21) и (9.22), если в последнем заменить множество + на S'.
Когда связей нет, все вариации 611у4 независимы, и из соотношений (9.25) вытекают условия на 2'
Wa = Wa (1% W1X = WiX (Ia)9 Iа є= (9.26)
в которых левые части равенств выражаются через определяющие параметры при помощи формул (9.17), (9.2), а правые части являются заданными функциями на множестве S'. При наличии связей между вариациями определяющих параметров вывод условий на множестве S' из соотношений (9.25) необходимо проводить с учетом этих связей, например методом неопределенных множителей Лагранжа.
