Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
8^1+ S1W*+ S2R+ SW = O.
Подставив в него выражения (8.11), (8.21) для функционалов 6s/, S%W*y SzR, получим следующую формулу для функционала SW:
бW = -j J (бЛа + бда** + 8л“)/а#?. (8.30)
dV + $±
Присутствующие здесь под знаком интеграла величины 6Ла, 6w*ay STa определены равенствами (8.6), (8.9),
(8.22), причем входящие в них функции |хл (|y) должны удовлетворять уравнениям Эйлера (8.29).
Подчеркнем, что полученные выше динамические уравнения для непрерывных процессов не определяют однозначно лагранжиан Действительно, добавление к лагранжиану величины VaQay где Qa — произвольные дифференцируемые функции от определяющих параметров, не дает вклада в вариацию 6VI и, следовательно, не влияет на уравнения (8.29). Функционалы же 6е/ и 6W при этом изменяются.
§ 9. Условия на разрывах и границах
Неоднозначность коэффициентов при вариациях определяющих параметров и их производных в выражении для функционала 6W. Подставляя выражения (8.6), (8.9),
(8.22) для величин 6Ла, бw*ay Sra в соотношение (8.30), определяющее функционал 6Wy представим его в виде
8Г=І J №06f^ + nBWPM^. (9.1) ev+?±
$9]
УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ
101
где
-ЛЯ -Wab, (9.2)
>4 =*
1 д V— g А ,.ар
К— g ^ (??^)
Задавая функционал bW на двух сторонах гиперповерхности разрыва Е± и на границе dV области К, можно получить условия на разрывах и границах [8 — 22]. Ho для этого предварительно необходимо преобразовать выражение для функционала 6W *).
Дело в том, что коэффициенты при вариациях 6|хл и их производных в выражении (9.1) для функционала 6W не определяются однозначно процедурой получения функционала 6W из вариационного уравнения (8.23) (сам же функционал 8W определяется, конечно, однозначно). Действительно, к правой части равенства (9.1), определяющего функционал &W, всегда можно добавить тождественно равный нулю функционал 6Q, задаваемый выражением (8.12). В результате к коэффициентам WaAy Wc^ добавятся, вообще говоря, не равные нулю слагаемые (dp V—g&jPW—g> Указанная неоднозначность коэффициентов имеет ту же природу, что и отмечавшаяся в предыдущем параграфе неоднозначность коэффициентов при вариациях 6|ыл и их производных др6цл в выражениях (8.4), (8.7) или (8.11) для функционалов 6^/, 82№*.
Кроме того, вариации 6^л и их производные dp Sjii4 в выражении (9.1) для функционала 6W нельзя считать независимыми, так как производные от вариаций 6|хл вдоль гиперповерхности OV + І!± определяются значениями самих вариаций б|хл на этой гиперповерхности. Неоднозначность коэффициентов при вариациях 6|ыл и их производных <Эа6|ыл в выражении (9.1) для функционала 8W тесно связана с отсутствием независимости между вариациями 6|хА
l) В некоторых частных случаях соответствующие преобразования рассматривались в работах [8, 9]. В общем случае, когда функционал бW содержит любое конечное число последовательных производных от вариаций определяющих параметров, такие преобразовав ния проводились в работах 111 — 13, 16].
102
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ГГЛ. 3
и их производными dp 6^ в указанном выражении для функционала SW. Покажем это. Пусть при замене коэффициентов WAt WcA на коэффициенты WaAy Wa/ в выражении (9.1) для функционала он не изменяется. Если бы вариации 6^ и все их производные др6|И на гиперповерхности OV +2± были независимы, то из условия 8W=bW (в силу выражения (9.1) для 6W и произвольности 611у4, др8|х^, Za) вытекали бы равенства
Wa = , Wf = Wf, (9.3)
приводящие к однозначности указанных коэффициентов.
Таким образом, отсутствие независимости между вариациями 8\іА и их производными др 6^ (из-за того, что производные от 6(1'4 вдоль гиперповерхности dl/ + 2± определяются значением вариаций 8[iA на ней) делает возможным неоднозначность определения коэффициентов Waf WaA в выражении (9.1) для функционала 6W Поэтому производные от вариаций 6(1^4 вдоль гиперповерхности д$ + 2± необходимо исключить из выражения (9.1). Для этого преобразуем второе слагаемое в подынтегральном выражении в правой части равенства (9.1), выделив из него поверхностно дивергентную, часть.
Каноническая форма функционала 6 W. Рассмотрим в пространстве событий гиперповерхности dV, 2±, введенные в конце § 7 Они представляют собой геометрическое место точек в пространстве событий, для которых Сопутствующие координаты принадлежат соответственно гиперповерхностям dV и *)• Положение гиперповерхностей dV,
2± относительно выбранной ГСК Xv9 очевидно, определяется функциями
*V = HC*), Xv = f\ т- (9.4)
Они получаются в результате подстановки в закон движения сплошной среды JCv(Iy) выражений (8.13) для Iа (?*).
Введем на гиперповерхностях dV и 2+ произвольное, достаточно гладкое векторное поле /(0) (Sft) так, чтобы
1) Напомним, что сопутствующие координаты ?Y можно рассматривать как криволинейную систему координат в пространстве событий, называемую сопутствующей системой координат (ССК)
(см. § 3).
§91 УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ ЮЗ
в каждой точке Cft 4-вектор /(0) был линейно независим от тройки касательных векторов /(М (?*), определенных равенствами (1.37) Обозначим через fj0) и /“0) компоненты вектора /,Oi относительно ГСК Xv и CCK Iа"-