Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
с = 2,99793- IO10 см/с.
Поэтому в релятивистской механике промежуток времени между двумя событиями зависит от выбора ГСО, и, в частности, два события, одновременные с точки зрения одной ГСО, вообще говоря, не являются одновременными в других ГСО. При этом, естественно, закон сложения скоростей классической механики не справедлив. Однако благодаря большому значению постоянной с на практике достаточно точной оказывается классическая механика.
Пространство событий Минковского. В релятивистской механике большое значение имеет понятие точечного события, которое обычно называют просто событием. Им может быть, например, какое-нибудь событие, происходящее с телом, рассматриваемым как материальная точка. Такое событие определяется точкой пространства, где оно произошло, и моментом времени, когда оно произошло, т. е. значениями переменных Xf у, Zt t. Любым двум событиям хи ух, гх), *2, Уъ г2) можно по-
ставить в соответствие число
Aa = C8 (h — /2)2 — (X1 — Xi)2 -(г/1- у г)1 — (Zi - г2)г,
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ минковского
9
которое называется квадратом интервала между этими событиями. Если события Q^1 и G^r2 могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью с, то интервал между этими событиями равен нулю. Верно и обратное утверждение. Так как величина с является универсальной постоянной, не зависящей от выбора ГСО, то из равенства нулю интервала А в какой-нибудь одной ГСО следует, что он равен нулю и в любой другой ГСО. Для бесконечно близких событий квадрат интервала A2 выражается через приращения времени dt и координат dx> dy, dz следующим образом:
dA2 = Atf2 - dx2 - dy2 - dz2.
Если dA2 = 0 в некоторой ГСО, то равенство dA'2 = О в любой другой ГСО' должно выполняться в силу преобразования времени / и пространственных декартовых координат х, у, z при переходе от старой ГСО к новой ГСО'. Поэтому в общем случае, когда dA2 Ф 0, величины dA'2 и dA2 должны быть связаны соотношением
dA'2 = XdA2,
причем из однородности и изотропности пространства и времени с учетом равноправия всех ГСО (принцип относительности) следует, что х=1. Таким образом, квадрат интервала инвариантен при переходе от одной ГСО к другой:
dA'2 = dA2, A'2 =A2.
Рассмотрим множество всех возможных точечных событий. Оно образует четырехмерное многообразие, называе-. мое пространством-временем или пространством событий [1-4], в котором точки (события) можно задавать координатами Xv, введенными следующим образом1):
x? = d, X1 = X9 X2 = у, X3 = Z.
Каждой ГСО соответствует своя пространственно-временная галилеева система координат (ГСК) Xvt и наоборот {в дальнейшем термин «ГСК» будем использовать также и вместо термина «ГСО»). Переход от одной ГСО к дру-
1J В дальнейшем тензорные греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3, а латинские —значения 1, 2, 3, причем в качестве индексов компонент тензоров в галилеевой системе координат используются буквы второй половины соответствующего алфавита: к, Kt р,, v, ...; k, I, т, /I1...
10
ОСНОВНЫЕ релятивистские понятия ГГЛ. 1
гой сопровождается преобразованием ГСК xv. При этом, как было установлено выше, интервал между любыми двумя событиями не изменяется. Выражение для квадрата интервала Д2 можно записать при помощи координат Xх в виде1)
?00 = -^11 = -^22 = -^33=1, ?цу = 0 (JA=^v) 0 *2)
Интервал между двумя событиями можно рассматривать как четырехмерное расстояние между соответствующими точками пространства-времени. Тогда равенства (1.1) и (1.2) определяют метрику пространства-времени, которое в этом случае называют пространством событий Минковского <Л.
Множество преобразований координ ат Xv, т. е. совокупность переходов от одной ГСК к другой, сохраняющих вид метрики (1.1), (1.2), образует группу, называемую группой Пуанкаре. Эти преобразования действуют по закону [2 — 4]
где взаимно обратные матрицы /'*\ удовлетворяют условиям
Преобразования (1.3) включают четырехмерные повороты, задаваемые матрицами V* (преобразования Лоренца), и четырехмерные сдвиги системы координат Xv (изменения начала отсчета врехмени и пространственных координат). Преобразование (1.3), соответствующее переходу к новой ГСО', совпадающей при ^ = O с исходной ГСО и движущейся относительно нее ВДОЛЬ ОСИ X со скоростью У, называется специальным преобразованием Лоренца. Для него коэффициенты /v*\ Vyk имеют вид [2 — 4]
dA2 = dtf' dxv у
(I.I)
где
х'» = I^xv + П\ Xv = 1*х'» + Zv, (1.3)
(1.4)
?>M,vZx g\xvlxl\ — guX-
(1.5)
/'О ______ /' I ______ v /'о
» h — 1O — —~ h »
(1.6)
1J По совпадающим верхним и нижним индексам подразумевается суммирование (правило Эйнштейна).
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИИ минковского
1]
При c-voo отсюда с учетом х° = с/ получаются преобразования Галилея.
В связи с пространством событий Минковского введем еще четырехмерное действительное векторное пространство (JC1y обладающее свойствами:
а) каждой ГСК Xv в <Л соответствует базис av в
б) при преобразовании (1.3) ГСК Xv соответствующий базис в преобразуется по закону
