Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
М? = 0. (4.34)
Очевидно, верно и обратное утверждение: функции nt (|°)f If (Iа). v< (Iа). определенные равенствами (4 33), удовлетворяют уравнению (4.24) при любых достаточно гладких Tf® (|Р), Ifj (|р), которые можно еще подчинить условию
(4.34).
Ковариантная форма параметрического представления величин rti, /“, V1. При введении параметрических функций iff (|“), Ifi (|а) существенно использовалась некоторая выбранная CCK !“. Докажем теперь, что формулы
(4.26)-(4.34) сохраняют свой вид при переходе к любой другой CCK Iа, если при этом функции TfpY Y преобразуются как контравариантные компоненты векторного поля
^ (!“) =^tffa3 =^эр, (4-35)
функции іyjVY представляют собой скалярное поле
(Iа) = 'f., (4.36)
а сами параметры г|^, г|^ преобразуются по законам, вытекающим соответственно из равенств (4.35), (4.36). Инвариантность формул (4.32), (4.34) очевидна, так как вектор ортогонален 4-скорости многокомпонентной сплошной среды (в каждой точке пространства событий):
(%, в)== 0, TfX = O- (4.37)
Инвариантность формул (4.26)-(4.31) будет следовать из инвариантности выражений (4.33). Докажем последнюю. Для этого приведем равенства (4.33) к ковариант-ному виду, используя компоненты векторного поля Tfc и скалярное поле Tfj.
Выражение для Vj можно преобразовать так:
V. =-L-їі = _?_*h _ с Al61_ =
‘ Yydx V-edl0 V-gdl* gVyVgoo
= y=day^g ^iUa.
54
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
ГГЛ. 2
Воспользовавшись тождеством (1.35), получим следующую формулу для Vi:
Воспользовавшись затем вторым тождеством (1.36), получим ковариантную формулу для If:
Первое слагаемое в выражении для Zti можно преобразовать следующим образом:
Здесь были использованы формула (3.35) для du^/dA и тождество (1.35). Окончательная формула для щ будет, очевидно, иметь вид
Выражения (4.38)-(4.40) справедливы не только в исходной CCK но и в любой другой системе координат (не обязательно сопутствующей) в пространстве событий. В частности, они сохраняют свой вид при переходе к любой другой CCK если у всех входящих в них величин проставить штрихи. Проводя затем все рассуждения в обратной последовательности, найдем, что в CCK
Vi = CVaIjjiUa.
Преобразуем теперь выражение для If:
(4.38)
If = — CYpvV ($f“V — Ф? «Р)-
(4.39)
*i=vW№ + *|.
(4.40)
§ 4]
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ
55
также выполняются равенства (4.33), в которых все величины надо брать относительно CCK ?'а (т. е. со штрихом). Таким образом, инвариантность соотношений (4.33), а значит и всех предшествовавших им соотношений
(4.26) — (4.31), доказана (при законе преобразования функций г|)*, г|э., следующем из равенств (4.35), (4.36)).
Используя выражения (4.39), (4.40), легко найти.кова-риантное параметрическое представление для компонент 4-вектора плотности потока числа частиц /-го сорта
Здесь были учтены равенства Wp^ = O, и^уи& = 0. Таким образом,
Подставляя выражения (4.38) для Vi и (4.41) для CniUa + If в уравнение (4.24), легко убедиться, что она будет удовлетворяться тождественно.
Заметим, что N векторов I1 связаны между собой соотношением (4.15), из которого на основании формул (4.26) для Iai следует равенство
Проинтегрировав его по E0 и положив постоянную интегрирования равной нулю, что всегда можно сделать в силу неоднозначности определения параметров г]^ из уравнений
(4.26), получим
Учитывая определение (4.32) величин гДО, легко видеть, что такая же связь будет иметь место и для них:
N
Г\а = CniUa +If =
= CUaIfjpy$f + ClpiUa — CyaVy и* — =
= CUa + OifiUa — CUaUft (и?+
+ cVy (§аиу — fIpJwa) = cVy (уаиу — фуиа>) + с$.иа.
N
56
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
Таким образом, всегда можно считать, что параметры
ty? удовлетворяют соотношениям
N N
2 = 0, 2] m&i = (4-42>
f =1 І = I
Физический смысл параметров ф?, Используя полученные выше параметрические представления для компонент 4-вектора плотности диффузионного потока частиц t-го сорта If и для локальной скорости изменения их числа Vj, можно установить физический смысл парамет-ров , Tfc.
Для этого рассмотрим в пространстве событий гиперповерхность в виде бесконечно узкой полоски dS(c), которая задается соотношениями
U < Iа < Й ¦+ <%?> ES < Ib < 8+«*.
Ic = U, 6Ї<6°<6Ї,. афЬфсфа.
Здесь звездочками отмечены произвольные фиксированные значения сопутствующих координат ?а, а индексы а, Ъ, с принимают произвольные фиксированные значения, получаемые круговой перестановкой из последовательности 1, 2, 3. Очевидно, что гиперповерхность d2(c) образована отрезками мировых линий точек сплошной среды, у которых лагранжевы координаты принадлежат бесконечно малому участку dladlb поверхности Ic = построенной в трехмерном пространстве лагранжевых координат E1 > E2 > E3- Сечение гиперповерхности dS(c) гиперплоскостью X0 = Const дает с точки зрения ГСК Xv положение в пространстве в момент времени t = XfiIc вмороженного в среду бесконечно малого участка dladlb поверхности Iе = ?.
Обозначим через dW(c) полный поток числа частиц і-го сорта через гиперповерхность dS(c) в направлении ?с, т. е. разность между числом мировых линий частиц 1-го сорта, пересекающих гиперповерхность dS(c) в направлении возрастания Icf и числом мировых линий частиц і-го сорта, пересекающих гиперповерхность dS(c) в направлении убывания 1е. Гиперповерхность dS(c) всегда можно рассмат: ривать как часть гиперповерхности dS, по которой проводится интегрирование в соотношении (4.17). Поэтому выражение для <Г?\с) имеет такой же вид, как и первое
