Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Ці = CniU+ Ii (4.13)
Умножая обе части этого равенства на mi и учитывая соотношения (4.5), получим выражение для CpiUi
CpiUi = Cmi^u + mJi. (4.14)
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ
47
Подставив его в равенство (4.2), найдем, на основании соотношения (4.9), что параметры /, связаны между собой:
2 rnJi — 0. (4.15)
( = 1
Выражение (4.13) для 4-вектора плотности потока числа частиц і-го сорта позволяет записать уравнение баланса числа частиц і-го сорта следующим образом:
dK(cniuK + ft) = vi. (4.16)
Переходя к CCK Iа и используя второе тождество (1.35) и равенства (3.8), (3.19), представим соотношение (4.16) в виде
щт {сПі Vv) + да (VzrH /“) = V,- Vv Vlm-
Умножим это равенство на произведение d?°...dg3 и проинтегрируем обе его части по четырехмерной области dV пространства событий, представляющей собой бесконечно тонкую трубку мировых линий точек сплошной среды, боковая поверхность dS которой состоит из мировых линий, а торцевые поверхности ортогональны им (в смысле псевдоевклидовой метрики пространства событий). Использовав затем формулу Остроградского — Гаусса
(1.45), равенства (4.12) и определение собственного времени, получим следующее соотношение:
Хг T2
Пі VV^l = — 4 J + I (v«' Vvd31)dx, (4.17)
Tt dl, T1
где d% = dl'dl*dl\
Левая часть равенства (4.17) представляет собой изменение числа частиц і-го сорта в бесконечно малом элементе сплошной среды (смеси), собственный объем кото* рого равен Vy d3l = du3, в течение промежутка собственного времени от T1 до т2. Первое слагаемое в правой части равенства (4.17) равно полному потоку числа частиц i-ro сорта через боковую поверхность dS рассматриваемой трубки мировых линий, т. е. потоку числа частиц *-го сорта через двумерную поверхность бесконечно малого элемента сплошной среды (с собственным объемом dv3 = Vyd3D г. течение промежутка собственного времени от I1 до T2 Второе слагаемое в правой
48
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
части равенства (4.17) представляет собой изменение числа частиц 1-го сорта в рассматриваемом бесконечно малом элементе сплошной среды в результате столкновений между частицами в нем в течение промежутка собственного времени ОТ X1 ДО T2-
Реакции между компонентами смеси. Если в результате столкновений между микроскопическими частицами, образующими смесь, число частиц некоторых сортов изменяется, то говорят, что между компонентами' смеси протекают реакции. Они могут быть химическими, ядер-ными или даже реакциями элементарных частиц в зависимости от того, что представляют собой микроскопические частицы, образующие смесь, которая рассматривается как многокомпонентная сплошная среда. Реакции принято записывать в виде символических соотношений
N N
VJr(г= 1, ..., Я), (4.18)
f=l 1=1
где — символ частиц і-го сорта; г —номер реакции; R — число независимых реакций; vjr (i = I, ..., N) —
минимальное число частиц каждого сорта, которые все вместе должны участвовать в одном столкновении, чтобы между ними могла произойти г-я прямая реакция; vj> (і — I, ..., N) — число частиц каждого сорта, разлетающихся после одного такого столкновения, в результате которого произошла г-я прямая реакция1). Из обратимости микроскопических процессов (здесь рассматриваются только такие процессы) следует, что наряду с прямыми реакциями, которым в соотношениях (4.18) соответствует верхняя стрелка, возможны и обратные реакции, которым в (4.18) соответствует нижняя стрелка.
Минимальное число частиц каждого сорта, которые все вместе должны участвовать в одном столкновении, чтобы между ними могла произойти г-я обратная реакция, равно vAir (і =I9 ..., N). После одного такого столкновения, в результате которого произошла г-я обратная реакция, число разлетающихся частиц каждого сорта будет равно vtv (і= 1, ..., N). Разумеется, названия «прямая реакция» и «обратная реакция» условные, и их
1J Реакции распада частиц /-го сорта можно рассматривать как частный случай, когда в «столкновении» должна участвовать всего одна частица /-го сорта. При этом для г-й прямой (обратной) реакции распада частиц у-го сорта vjr = SiJ (\>=^у).
ДИФФУЗИЯ и РЕАКЦИИ
49
можно поменять местами, т. е. назвать обратную реакцию прямой, а прямую— обратной
Введем для прямых и обратных реакций средние характеристики GV+ и со;, определенные равенствами
щ;(х)ві?И?», = (4.19)
-V(X) - V(X)
Здесь V = Ct1V3- четырехмерный объем физически бесконечно малой четырехмерной области о, построенной около точки X пространства событий; tx и — соответствующие, физически бесконечно малые отрезок времени и трехмерный объем; Vr (о (х)) — число столкновений между частицами в области о(х), в результате которых происходит г-я прямая реакция; Lr (о (х)) — число столкновений между частицами в области о(х), в результате которых происходит г-я обратная реакция. Величины со г и со; называются локальными скоростями r-й прямой и r-й обратной реакций.
Введем еще коэффициенты vir:
Vir = Vjr-Vrrt (4.20)
называемые стехиометрическими коэффициентами. Из данного выше определения понятия реакции между компонентами смеси следует, что для любой г-й реакции не все величины Vir равны нулю. Очевидно, что изменение числа частиц /-го сорта, происходящее в физически бесконечно малой области о в результате, г-й прямой реакции, равно VtrLr, а изменение в результате г-й обратной реакции равно -VirLr. Поэтому изменение числа частиц г-го сорта, происходящее в области о в результате всех R прямых и обратных реакций, будет равно R R
