Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
44
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
ГГ Л. 2
i-го сорта, которое получается из уравнения (3.3) заменой Pu0-^tfJcy Cpuk-^t)1?, где Vi (я) —локальная ско-
рость изменения числа частиц і-го сорта за счет столкновений между частицами. Такое интегральное уравнение, как и в § 3, приводит к дифференциальному соотношению, которое теперь имеет вид
dxr? = vr (4.4)
Оно называется дифференциальным уравнением баланса числа частиц иго сорта.
Пусть ті — масса частицы 1-го сорта. Тогда, сравнивая определение компонент г]* (см. равенства (4.3)) и определение величин p., uv. (см. равенства (3.1), записанные для частиц і-го сорта), легко доказать равенства
т]У = ст].иУ, I=UJuiv, Pi = ZniTir (4.5)
Величина Tji, очевидно, является средней плотностью числа частиц i-го сорта относительно і-й ГСК, собственной для рассматриваемой точки пространства событий1), и может быть названа і-й собственной плотностью числа частиц і-го сорта.
Если частицы какого-либо сорта / имеют нулевую массу покоя (т;- = 0), то определение параметров p/t иJf при помощи равенств (3.1), записанных для сорта /, теряет смысл. В этом случае компоненты иJ 4-скорости /-й компоненты смеси, собственная плотность ее массы ру и собственная плотность ее числа частиц т]у могут быть определены непосредственно при помощи равенств (4.5), причем очевидно, что Py = O. И только для системы частиц с нулевой массой покоя, движущихся строго в одном направлении (т. е. при отсутствии разброса по скоростям), нельзя ввести параметры rjиУ, удовлетворяющие первым двум равенствам (4.5), так как в этом случае rjjr]/v = 0.
Подставим в уравнения (4.1) и (4.4) выражения (4.5) для р. и г]}\ Сравнивая получившиеся равенства и учитывая, что к = 2 Kh найдем следующие соотношения
1J i-й ГСК, собственной для точки х пространства событий, будем называть ГСК, которая является собственной для /-й компоненты смеси в точке Xi т. е. такую ГСК, относительно которой компоненты 4-вектора щ в точке х имеют вид =
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ
45
между х, Tii и Vi:
N
Ki = ZTIjVj, я =^miVi. (4.6)
І — 1
Запишем уравнение (4.4) в CCK Iа и проведем рассуждения, применявшиеся при выводе равенства (3.55) из соотношения (3.54), делая при этом замену cpuv= = OiiWv, х —>• Vj. В результате получим уравнение
p=?(4,V^)-v„ (4.7)
которое эквивалентно уравнению (4.4). Умножив соотношение (4.7) на Yyi и проинтегрировав его по і-му собственному времени Tj, найдем выражение для TjjVrTj: h -Л» VYi It, = 5 vi Vvi dxi + Пі VУі Iti=о-0
Левая часть этого равенства, будучи умноженной на d?i dU d?>L представляет собой число частиц і-го сорта, содержащихся в бесконечно малом собственном трехмерном объеме dv3i = VЪ dll dll dll і-й компоненты смеси. Оно не зависит от момента собственного времени Xi, если Vi = 0.
Собственные плотности и диффузионные потоки числа частиц. Назовем собственной (для смеси) плотностью числа частиц і-го сорта величину nit определенную равенством
«• = 7 (Ль «) = Л««?Иу (4-8)
и являющуюся, очевидно, средней плотностью числа частиц і-го сорта относительно ГСК, собственной для рассматриваемой точки пространства событий1). Подставляя во второе равенство (4.2) вместо р* произведение ZniTji и учитывая определение собственной плотности числа частиц і-го сорта Aii, получим следующее выражение для собствен-
1) ГСК, собственной длг. тонки х пространства событий, называется, как и в § 3, ГСК, относительно которой компоненты 4-ско-рости смеси В точке X имеют ВИД Ы^(*) = 6о. Компоненты тензоров в точке Xt взятые относительно собственной для нее ГСК, будем отмечать звездочкой.
46 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИкА [ГЛ. 2
ной плотности массы покоя многокомпонентной сплошной среды:
P = E т.п(. (4.9)
I = I 1= 1
Определим еще четырехмерные векторы /і (і = 1, ... ..., N):
I I = Л, - CniU = сл, (к - и)ихиv) av = — CT1. u^v, (4.10)
компоненты которых относительно ГСК, собственной для рассматриваемой точки Xrtl пространства событий, имеют вид
/?V*)=o, (4.11)
Здесь Vki = дх* tydt — компоненты обычного трехмерного вектора скорости 1-й компоненты смеси относительно выбранной собственной для точки х* ГСК. Заметим, что относительно этой ГСК компоненты трехмерного вектора скорости смеси в точке X* равны нулю: Vk(Xrtl) = Oy а величины Ifk(Xrtl) совпадают с компонентами трехмерного вектора диффузионного потока частиц і-го сорта. Поэтому вектор I1 можно назвать 4-вектором плотности диффузионного потока частиц і-го сорта, а вектор mJi — 4-векто-ром плотности диффузионного потока массы покоя частиц і-го сорта. Подчеркнем, что, таким образом, мы будем называть диффузионными потоками любое движение компонент смеси относительно смеси в целом независимо от того, какими причинами оно вызвано.
Определенные равенствами (4.10) векторы Ii (/==1, ... ..., N) ортогональны (в смысле псевдоевклидовой метрики пространства событий) 4-скорости смеси:
(Ih и) = Oy IUv = Ifua = 0. (4.12)
Очевидно, что 4-вектор плотности потока числа частиц і-го сорта выражается через параметры niy Ii:
