Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 13

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 91 >> Следующая


Va (cpua) = х. (3.54)

Применяя тождество (1.35), запишем это уравнение так:

р= да ^V-rS сриа) = к.
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ

41

Подставив сюда выражения (3.8) и (3.19) для иа и Y—S и учитывая определение собственного времени, преобразуем уравнение неразрывности к следующей форме:

тЛ <3'65>

Умножив соотношение (3.55) на 1/"у и проинтегрировав его по собственному времени т, найдем выражение для рУу

pVy \x = \^VydT + pVy l*-°- (3-56)

о

Левая часть этого равенства, будучи умножена на d^d^dS,3, представляет собой сумму масс покоя частиц, содержащихся в бесконечно малом собственном трехмерном объеме (Iv3 = Yy dlxdl2dl3 сплошной среды. Эта сумма не зависит от собственного времени т, если при столкновениях частиц сумма их масс покоя сохраняется (х = 0).

Отметим также, что при р=1/|/у, х = 0 уравнение (3.55), а значит, и уравнение (3.54) удовлетворяются тождественно:

Чгї““)”0- (3'67)

§ 4. Диффузия и реакции в многокомпонентных средах

Определение многокомпонентной сплошной среды.

Пусть система микроскопических частиц, рассматриваемая в § 3 как сплошная среда, представляет собой смесь, состоящую из частиц N сортов. В этом случае подсистема из частиц одного какого-нибудь сорта называется компонентой смеси. Пронумеруем компоненты смеси и будем отмечать микроскопические и средние характеристики частиц /-й компоненты индексом і (і =It 2, ...,^,который иногда будем заключать в скобки, чтобы не путать

его с тензорными индексами. Средние характеристики

(без индекса і), введенные в § 3, относятся к смеси в целом. Ho, очевидно, рассматривая каждую отдельную компоненту и проводя для нее дословно все рассуждения из § 3, можно определить для каждой компоненты такие же характеристики, как и для смеси в целом. Сохраним для них прежние обозначения, добавляя лишь индекс
42 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА [ГЛ. 2

1 = 1, ..., N1). Таким образом, для каждой компоненты введем свою сплошную среду со следующими характеристиками:

Pi, Ui, X/, , э<хit Bi, JTaBt-, V(, dxj,

dk, yi, у,-, Wi, Yi, еі» ft. ft*

Каждую такую среду также будем называть компонентой, а сплошную среду для смеси в целом — многокомпонентной сплошной средой или просто смесью.

Очевидно, что для каждой компоненты справедливо уравнение типа (3.4):

~{cPiul) = Xi (і = I, N), (4.1)

называемое уравнением неразрывности і-й компоненты смеси. Входящая в него величина щ (л:^) представляет собой локальную скорость изменения массы покоя і-й компоненты смеси за счет столкновений между частицами. Заметим, что из определения величин р, Uvy Pt, Uvi вытекают тождества

N

PU = 2 PiUi,

i=1 _____________________ (4.2)

N Г N N 4 '

P = PiUiUv= Л/ g^v 2 PiUi 2 PfUj . і = i V і= і і= і

Поэтому, суммируя равенства (4.1) по і от 1 до /V и учитывая уравнение неразрывности (3.4) для смеси в целом, найдем связь между к и Xi:

N і= 1

Уравнения баланса числа частиц. Пусть мировые линии материальных частиц, образующих М-компонентную смесь, проходят через некоторую четырехмерную область V пространства событий Минковского. Рассматривая эту смесь в области V как релятивистскую сплошную среду, введем в каждой точке х из V средние характеристики

1J Вместо индекса і будем использовать также индекс /, не при-

меняя их для обозначения компонент тензоров.
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ

43

TjV(я) (I=I9 2, JV), определенные равенствами

“Г";- «•»

Здесь u'v — компоненты 4-скорости одной частицы /-го сорта и Аі — положительный интервал, отсчитываемый вдоль ее мировой линии. Интегрирование производится по участку мировой линии частицы, принадлежащему физически бесконечно малой области о(х), содержащей рассматриваемую точку х. Сумма берется по всем частицам /-го сорта, чьи мировые линии проходят через о(х). Для частиц с т = 0 в формуле (4.3) надо сделать замену и”-*dx'{v/dl'{9 dA'i-^dfcU в которой Ei — произвольный параметр точек на мировой линии частицы. Из равенства (4.3) следует, что величины TjJr являются компонентами четырехмерных векторов к]i (/=1, ..., N). Для каждого фиксированного значения / вектор Tji называется 4-вектором плотности потока числа частиц і-го сорта.

Равенства (4.3) можно записать также в трехмерном виде (учитывая, что u'v = dx^ ZdAri):

Здесь Ni (V3) — число частиц /-го сорта в физически бесконечно малом трехмерном объеме V39 которому в рассматриваемый момент времени t принадлежит точка с пространственными координатами xr\ wf = dxf/dt — компоненты трехмерной скорости частиц /-го сорта; сумма берется по всем частицам /-го сорта, находящимся в объеме v3\ угловые скобки обозначают операцию осреднения по физически бесконечно малому отрезку времени tl9 содержащему момент времени t. Из этих соотношений следует, что относительно выбранной ГСК величина гfjc представляет собой среднюю плотность числа частиц Z-го сорта, а компоненты совпадают с компонентами трехмерного вектора средней плотности потока числа частиц /-го сорта. Поэтому вектор Ці называют 4-вектором плотности потока числа частиц /-го сорта.

Из определения и физического смысла величин т]ї/с и т)* следует, что в каждой ГСК они должны удовлетворять обычному интегральному уравнению баланса числа частиц
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed