Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
дует, что Vrdl, 5*) = °-
Отметим, что на основании равенств (3.21) и (3.36) свертка 4-тензора скоростей деформаций с 4-скоростью рассматриваемой точки сплошной среды равна нулю:
еаЬФ = О, ^vIiv = O (еа0 = еоа = 0). (3.39)
Если при Iа = 1% компоненты 4-тензора скоростей деформаций равны нулю, то движение бесконечно малой частицы сплошной среды с лагранжевыми координатами в момент ее «времени» можно назвать твердым. При таком движении выполняются равенства
ж-о- тг=°. ж-и(т^)-0- P'40*
из которых следует, что скалярные произведения
(и, и)=1, (и, э°) = %=^ = 0,
/goo (3.41)
(Э°, 9b)=gab = — yab
четверки векторов и, 9а (а = 1, 2, 3) между собой остаются постоянными. Таким образом, при твердом движении бесконечно малой частицы сплошной среды базис из векторов и, 9а перемещается вдоль ее мировой линии без
38 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА |ГЛ. 2
изменения метрических соотношений между этими векторами (в смысле четырехмерной псевдоевклидовой геометрии), причем вектор и по определению является касательным к мировой линии и направлен в сторону возрастания собственного времени X.
Четырехмерный вектор угловой скорости. Рассмотрим антисимметричный тензор второго ранга Q, определенный равенствами
Й = <ВарЭ“Эр, Oi0Q = J YjVe(Ve-Vv)- (3.42)
Этот тензор называется 4-тензором угловой скорости вращения бесконечно малой частицы (точки) сплошной среды. В ГСК Xv его компоненты имеют вид
(Oliv = -^Y 'Х(дьи»~ д*их)- (3-43)
Если же эта ГСК является собственной для точки сплошной среды с лагранжевыми координатами в момент «времени» то компоненты (Ouv (?*, Ы) принимают особенно простую форму:
ЮЇ, (й, U) = j (drVk - dkvr), соїо (?) = 0. (3.44)
Здесь vk = dxk/dt — компоненты обычной трехмерной скорости точек сплошной среды относительно собственной для ТОЧКИ в момент «времени» ГСК, из определения которой следует, что и*(|?, 5|) = 0. Так как UvYvn = O1 то в каждой точке сплошной среды в любой момент времени выполняются равенства
tttHVuv = 0» WapM^ = O (®0a = = 0). (3.45)
Введем четырехмерный вектор ю, который связан с тензором Q следующим образом:
«о = ыаэа, (aa = j BapY6MptOYe- (3.46)
Этот вектор называется 4-вектором угловой скорости вращения бесконечно малой частицы (точки) сплошной среды. В ГСК JCv равенства (3.46) записываются так:
ю = (I)vSv, ©v = ^ Bv^ivobt. (3.47)
§ 3] ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 39
Если же эта ГСК, как и выше, является собственной для ?а = то компоненты cd*v(?*) имеют совсем простой вид:
<0= ekrpBrVp, со*°(?:) = 0. (3.48)
В каждой точке области V 4-вектор угловой скорости ортогонален (в смысле псевдоевклидовой метрики) 4-ско-рости:
UvCdx = у Zv^kylUvUii о)^х = 0, иа Coa = 0. (3.49)
Используя тождества (1.41) и (3.45), равенства (3.47)
можно разрешить относительно co?,K. Для этого подставим в компоненты evaXyti>vu° вместо Cov выражение (3.47) и проведем следующие тождественные преобразования:
1 pWikKi
6“«% 6T w1X 6VuU
6 У б?
бх б? б;
1
— 2
б? 6$ Л"
= 4- (6^6?, - бхбф) ЩМ = (Otpt.
Окончательно получим следующее выражение компонент софХ через компоненты o)v:
©ФТ ^л/атфCdvUfj — ^фхсгл;U0Cdv, (3.50)
Заметим, что в CCK Iа это соотношение записывается с помощью компонент (1.28) тензора Леви-Чивита
<0сф = 8<х0 Ye«V(0e. (3.51)
Распределение 4-скорости в бесконечно малой частице сплошной среды в течение бесконечно малого промежутка времени. Рассмотрим точку сплошной среды с лагранжевыми координатами Iа в момент ее «времени» ?° как некоторую точку в пространстве событий Минковского, имеющую координаты Iа в CCK Iа. В четырехмерной окрестности этой точки с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно написать следующее разложение для векторного поля 4-скорости сплошной среды:
и (Iа + dt“) = a (i“) + (OyU)ia dp =
= « (^ + (VpafV ^v- (3.52)
40 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА ГГЛ. 2
Используя определенные выше компоненты 4-вектора ускорения, 4-тензора скоростей деформаций и 4-вектора угловой скорости, можно представить ковариантные производные в таком виде:
Vp = (6V - uVua + uVu*) Ve = uVwВ - ^Vp =
= S*e + Y?TpVe =
= UvW6 + J (Ovp - у eYp = UyWfi + Zyfia6 у UaCO6 ~\eyfi.
Здесь, кроме того, учитывались равенства U6VaU6 = Ot VaMp =s — Окончательная формула для распределе-
ния 4-скорости в бесконечно малой частице сплошной среды в течение бесконечно малого промежутка времени имеет следующий вид (с точностью до бесконечно малых высшего порядка по d?a):
и (Iа + dl*) = и (|a) + (WMv)ia dV1 +
+ 7- (evpa6«a0)e3p)sa d|v _ I (e^V d&.
Учитывая равенства (1.28), (3.19), (3.8) и (3.39), полученное выражение для распределения 4-скорости можно записать так:
а (Iа + d?a) = и (Iа) + WUy dlу +
+ I Vv eabc d\\о»Эс -1 еаЬЭь dla. (3.53)
Заметим, что для истинно одновременных относительно CCK событий Iа и Iа + d?a имеем MYdgv = 0, и, следовательно, слагаемое, содержащее 4-ускорение, из формулы
(3.53) выпадает.
Уравнение неразрывности. Дифференциальное уравнение баланса массы покоя сплошной среды (см. (3.3)) переходит при с = со в обычное уравнение неразрывности нерелятивистской механики В этом легко убедиться, учитывая, что на основании равенств (2.3) и (2.6) при с = оо имеем м°=1, cuk = vk, х = 0. Поэтому уравнение (3.3) или (3.4) можно назвать уравнением неразрывности релятивистской механики. В CCK Iа оно имеет вид (3.5):