Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
<й2 =Yapdr^p. (3.24)
Введем еще ряд характеристик движения сплошной среды [1-71.
Четырехмерный вектор ускорения. Четырехмерным ускорением w (4-ускорением) сплошной среды называется
2 Л. Т. Черный
34 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА [ГЛ. 2
производная от ее 4-скорости, вычисленная вдоль ее мировой линии:
(3.25)
Для компонент Wv и Wa 4-ускорения, взятых относительно соответственно ГСК и ССК, справедливы выражения1)
Wv = — — ~ — = = UyVua. (3.26)
dA ctor dA
Дифференцируя равенство UvUv= 1, получим следующие простые соотношения:
uvdiuv = 0, UaVyUa = O9 uvwv = uawa = 0. (3.27)
Заметим, что в собственной ГСК компоненты 4-скорости и 4-ускорения соответственно имеют вид
ы*°=1, ы** = 0; до*0 = 0, до** = -I (3.28)
Четырехмерный тензор деформаций. Введем для каждой бесконечно малой частицы (точки) сплошной среды некоторое фиксированное состояние, которое по определению будем считать недеформированным. Пусть в этом состоянии для элемента собственного пространственного расстояния dX справедливо выражение
Af =yabC%adt>, Уаь = 4ьа=4аь{1с), (3.29)
из которого следует, что при изменении системы лагран-жевых координат величины уаЬ преобразуются как кова-риантные компоненты трехмерного тензора второго ранга. Определим теперь в каждой точке Iе сплошной среды в каждый момент «времени» ?° величины yap (a, P = O, ...
3), которые при а, р = 1, 2, 3 совпадают с уаь(1с)$ а при a = 0 или P = 0 равны нулю:
Yop =5 YaO s^s 0* (3.30)
l) В дальнейшем для обозначения частных производных по
X09 X1i X2, X3 используются символы дvl> dv, д^у а для обозначе-
ния частных производных по ?°, J1, ^29 ?3—символы dai ду, ...
§ зі ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 35
Заметим, что при переходе от CCK ?а к любой другой CCK Vа лагранжевы координаты должны преобразовываться независимо от параметра ?°:
6'° = E'0 (6°. Iа), 1'а = Ъ'ЧЪа\ (3.31)
чтобы оставаться постоянными вдоль мировых линий точек сплошной среды. Учитывая равенства (3.30), (3.31), легко показать, что величины уар, определенные указанным способом в каждой ССК, преобразуются при переходе от одной из них к другой как ковариантные компоненты четырехмерного тензора второго ранга:
V-W-Se- <3-32>
Поэтому можно следующим образом [2] ввести четырехмерный тензор второго ранга, называемый 4-тензором деформаций:
8 = 8арЭ“Эр = ^ (Yap - Тар) ЭаЭр, 8ар = ~ (уар - Vap)- (3.33) Свертки этих тензоров с вектором 4-скорости равны нулю: YnvUv = Yapup = 0, RiivUv = eapUp = 0, ea0 = 0.
Используя компоненты 4-тензора деформаций, получим соотношение
dA* - dfc = (Yaft - Y at) dla dlb = 2eap dla dg»,
аналогичное тому, что имеет место в нерелятивистской механике [1]
Четырехмерный тензор скоростей деформаций. Определим величины еар равенством
_dsaр _ с dyaр (dyafi _ \
е“Р_ dx — 2~dT IdA ~0)’ (3'34)
в котором производная берется вдоль мировой линии ТОЧКИ СПЛОШНОЙ среды. Покажем, ЧТО величины Єоф являются компонентами (в CCK Ea) некоторого четырех-мерного тензора второго ранга. Для этого вычислим предварительно производные duJdA и dga$/dA вдоль 2*
36 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА [ГЛ. 2
мировой линии точки сплошной среды1):
Clufy id Xj дхІ ди.
її - FS «Г1 - VS •+*“ W
- 1
Vgoo \ v^a adt«dx4
= 7= “A “v + *«“4Uv= f==A VIm + mVVv“* .
= -^(guv^p) = ^(хрва/гоо 1^+*? VYoo «') =»
= 77^= (хіщда Vgws + 4Мэ ^gbo) + xIdO-llV + XadpUu =
V goo
= ,7= (чд* VFw + Mp + x&l (BvlUv + BvUll) =
У Soo
= 77== (щда VSrOO + иад$ goo) + VaU$ + VpWa. У Soo
Здесь были использованы соотношения
X0 ==' goo и , UyjdoiU = 0, = Х(%ду9 ду = Vv
и общие формулы преобразования компонент тензоров при переходе от системы координат Xх к GCK ?а. Таким образом, справедливы равенства
~й=“VVvWa+а“^о° ’ dg« 1 _ _ (3-35)
= V<X«P + vp«a + (upda Кgoo + Mp Vgoo)-
Теперь легко получить выражение для dy^/dA:
-JET=zJK (Ы«МР -gap) = WPuVVVua+uauVVYMP “ VaMP “ Vp“* =
= YaVvuP +VPVVU« = — YaYp (Vvu6+ V6Uy).
В этом равенстве учтено, что uaV$ua = 0.
Таким образом, для величин еа$ справедлива формула
еа$ = — ~2 YaYp (VyUQ-^V6Uy)9 (3.36)
l) В дальнейшем используются обозначения: х^ = дхх/д^а9 =
= OlaZdxv, причем л&§=б?, *«*2=6U-
ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
37
из которой следует, что они являются компонентами тензора второго ранга е = еа^эаэ^ (относительно ССК). Этот тензор называется 4-тензором скоростей деформаций. Выражение (3.36) для его компонент справедливо в любой системе координат (не обязательно сопутствующей), в то время как выражения (3.34) имеют место только в ССК. Например, в ГСК Xх имеем
с j v dSiiV
Єцу = — J VuVv(OkUii4-dyuk) ф-fa- (3.37)
Если же эта ГСК является собственной для точки сплошной среды с лагранжевыми координатами Ц в момент «времени» то компоненты имеют особенно про-
стой вид:
e%r (& ?) = ~ (d„vr + drvk), ev*„ (|“) = e*v (?) = 0. (3.38)
Здесь Vr = dxr/dt — компоненты обычной трехмерной скорости точек сплошной среды в собственной ДЛЯ ТОЧКИ 1% в момент «времени» ГСК, из определения которой еле-
