Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
нули, считаются относящимися к CCK |а, если специально не ука-
зана другая система координат. Иногда указанное обстоятельство
отмечается символом А [1], например goo=goo> &о« — goa» Зо = э0,
U9 = U0i P0=sPo и т- п•
ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
31
ной среды с лагранжевыми координатами взятой в момент «времени» 5°, и бесконечно близкой ей точкой сплошной среды с лагранжевыми координатами ?f=?°+d?e, рассмотрим эту вторую точку среды в момент ее «времени» = I0 -f dl°, связанный с ?° соотношением иа (?°, Е?) d%a — 0. Тогда события с координатами Iа и будут одновременными относительно ГСК, которая является собственной для точки ?“ сплошной среды в момент «времени» ?°. Эти события можно назвать истинно одновременными относительно ССК. Используя выражение (3.8) для иа, условие истинной одновременности относительно CCK легко представить в виде
gaod^ = gwd^ + ga0dla = 0. (3.11)
Определим теперь величину dk2 равенствами
А* = - dh? = - gatdl«dl* > 0, ga о = 0, (3.12)
в которых dA —интервал между истинно одновременными относительно CCK событиями в бесконечно близких точках сплошной среды с лагранжевыми координатами и ?a-fd?a. Исключив из равенств (3.12) величину d?°, получим окончательное выражение для квадрата элемента пространственного расстояния в ССК:
db2 = Y«ftd?a<r>0, у ,, = ??-?. (3.13)
goo
Используя общие формулы преобразования компонент четырехмерных тензоров при переходе от одной системы координат (четырехмерной) в пространстве событий Мин-ковского к другой, можно показать, что компоненты уаЬ преобразуются при изменении системы лагранжевых координат Iа как ковариантные компоненты трехмерного тензора второго ранга. Пусть из точки сплошной среды с лагранжевыми координатами Iа в момент «времени» g0 отправляется в бесконечно близкую ей точку среды с лагранжевыми координатами la + dla сигнал, распространяющийся с максимально возможной скоростью с, который затем возвращается в исходную точку сплошной среды по тому же пути. Оказывается, что промежуток собственного времени d% в исходной точке среды, прошедший между отправлением и возвращением сигнала, связан с собственным расстоянием dX между точками сплошной среды, определенным равенством (3.13), обычной зависимостью dx = 2dVc [4].
32 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА [ГЛ. 2
Пространственный метрический тензор. Рассмотрим следующий четырехмерный тензор второго ранга:
Y = Ynv^av, Ynv = «n«v-gnv (3.14)
Учитывая выражения (3.8) для иа и иау легко показать, что в CCK ?а пространственные ковариантные компоненты этого тензора совпадают с величинами уаЬ, определенными равенством (3.13), остальные же ковариантные компоненты равны нулю (в ССК):
Yaft = UaUb — gab = — gab, ,
soo (3.15)
Voa = VaO “ §0а ~ 0,
а его пространственные контравариантные компоненты в CCK ?а связаны с пространственными контравариант-ными компонентами метрического тензора простым соотношением
уаЬ = иаиЬ _ gab = — gab ^ (3.16)
Из равенств (3.15) и (3.16) следует, что компоненты уаЬ и уаЬ образуют взаимно обратные матрицы
Ya6Yftc---УаЬ8Ьс=—Y0pgpc=- Yca = — иоис+g*a = 6‘. (3.17)
Так как компоненты gap WgaV также образуют взаимно обратные матрицы, имеет место тождество
-IYrtI _ lgap|
ps-------Tv^7' (3л8)
Заметим, что определители g = Igap |, Y = I I и компо нента goo должны удовлетворять неравенствам1)
— g>°> Y>°> goo>0,
вытекающим из вида метрики в ГСК и положительной определенности квадратов элементов собственного пространственного расстояния и промежутков собственного времени для любых возможных (у<с) движений сплошной среды. Поэтому тождество (3.18) можно записать в таком виде:
V —g = V~gwVy> Sr=IgapKO, Y = I Y^ft I > 0. (3.19)
1J В дальнейшем через g, у всегда обозначаются определители компонент gap, уаЬ, относящихся к CCK Sa. Иногда указанное обстоя-» тельство отмечается символом А 11].
ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
33
Теперь элемент четырехмерного объема dv можно представить в виде произведения промежутка собственного времени di на элемент собственного трехмерного объема dv3
dv = V—gd*l = Cdxdvз, dv3 = Vy d^d^dl3. (3.20)
Используя формулы преобразования компонент метрического тензора при переходе от ГСК к CCK, легко показать, что введенные выше величины dr, dX, dv3 связаны простыми соотношениями с соответствующими им элементами времени d/*, пространственного расстояния d/* и трехмерного объема пространства dv*, взятыми относительно ГСК, которая является собственной для рассматриваемой точки пространства событий:
dx(g) = dt*f db(?) = d/*f dv3{ll) = dvl.
Определенный выше тензор у можно назвать пространственным метрическим тензором сплошной среды. Отметим, что свертка его с вектором 4-скорости равна нулю:
VaPlip = VSwP = VapMp = O- (3.21)
Поэтому
VapVpe = Yap (MpU8 - Srpe) = — YctPgrpe = —Ya- (3.22)
Равенства (3.21) и (3.22) справедливы, конечно, не только в CCK Ea, но и в любой другой системе координат. Например, в системе координат хх имеем
VllVuv = VX = Y^X = 0' YtivYv*'= Уц. (3-23)
Используя компоненты пространственного метрического тензора, можно определить элемент собственного пространственного расстояния между точками сплошной среды, в которых произошли рассматриваемые бесконечно близкие события:
