Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
- 347 -
2 sin2 a = -cos 2a -+-1,
2(r) sin3 a = -sin 3a -+- 3 sin a,
23 sin4 a = -i-cos 4 a - 4 cos 2a -+- 3,
24 sin5 a = -i-sin 5a - 5 sin 3a -+-10 sin a,
2s sin(r) a = -cos 6a -+- 6 cos 4a -15 cos 2a -+-10, 2(r) sin7 a = -sin la-л-
l sin 5a -
- 21 sin 3a -+- 35 sin a,
2" sin8 a = -t-cos 8a - 8 cos 6a -+- 28 cos 4a -
- 56 cos 2 a -+- 35,
28 sin(r) a = -Hsin 9 a - 9 sin 7a -h 36 sin 5a -
- 84 sin 3a -h 126 sin a,
2(r) sin10 a = -cos 10a -+-10 cos 8a - 45 cos 6a -+--+-120 cos 4a - 210 cos
2a -+-126,
r2" 1 sin" a = cos na - у cos (n - 2) a
n (n - 1) / л\
-i- l -J- cos (Л - 4) a - . . .
- четное.
(6)
Знак плюс при первом члене берется для п, имеющих форму 4р (р - целое
число), внак минус, если п имеет форму Ар-н2
±2*-1 sin "a = sin па р sin (п - 2) а ¦
п(п - 1) . /
н-1.2 SU1 (п - 4) a- ...,
(7)
п - нечетное число.
Знак плюс при первом члене берется для л, имеющих форму 4р + 1, и внак
минус, если п имеет форму 4р-нЗ.
Тригонометрические ряды
V1 • 2Ги 2/я 1 V' . 2 (/' - i) я
_smp -cosp -= y2Smp m----------------------
(" 0
- 348 -
1 V1 • 2 (Г н-1)it
2 2,Sm/> m-------------
0
p
2 2i'tc 2itc 1 XT' 2 (Г - i) 7t
cosp- cosp = -g- > COS/?--------1-
ш m / m
о 0
. ^ ~ 2 (Г H- l) It /Q\
~2 COSP m-----' W
0
p p
v' • 2/'те . 2/те IV1 2 (/' - /) те
2"'T"',7r=i2"!'~-------------------
-T2
0
p
COS p
2 (Г -+-1) тс
Связь с показательной функцией
2 cos х = Е1 * + Е~'/ ~х х,
2 V11! sin х = ?>,=i*-+- ?-^ *,
где
?=2.71828 18284 59045 ..., ?-1 = 0.36787 94411 71442.
(9)
Приложение 16 Формулы сферической тригонометрии
1. Сферические треугольники. Обозначим через А, В, С три угла
сферического треугольника, через а, Ь, с - противоположные стороны
треугольника. Между этими шестью величинами существуют следующие
соотношения, каждое из которых содержит один угол и три стороны.
cos а = cos b cos с -+- sin b sin с cos А,
cos Ь = cos с cos а + sin с sin a cos В, (1)
cos с = cos a cos Ь -+- sin a sin b cos С.
- 349 -
Теорема синусов
sin А
sin В sin С
sin a sin b sine Из (1) и (2) можно получить
ctg a sin А - ctg A sin С=cos A cos С, ctg а sin с - ctg A sin В = cos с
cos В, ctg A sin а - ctg BsinC= cos a cos С, ctg A sin с - ctg В sin А =
cos с cos А, ctg с sin а - ctg С sin В - cos a cos В, ctg с sin Ь - ctg
Csin A = cos b cos A.
Соотношения (1) дают также
cos A = -cos В cos С+sin В sin С cos a, cos В = -cos С cos A -+- sin С
sin i4 cos A, cos С = -cos A cos В + sin i4 sin Z? cos c.
Если положить 2/" = a -+¦ b -+¦ с, to A
sin
-K-
sin (p - 6) sin (p - c) sin b sin с
у4 i/sinpsin(p - a) COS 2 r sin b sin с '
t A 1 / sin (p - 6) sin (p - c)
(r) 2 r sin p sin (p - a) '
и аналогичные выражения для углов В и С. Если положить 2Р=А + В + С-180°,
то
sin
f=V •
COSy = j/
a i / sin P sin (i4 - P)
^ 2 - Г sin(fi-P)sin(C-P) f
sin P sin (A -P) sin В sin С '
sin (В - P) sin (С - P) sin В sin С
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
и аналогичные формулы для А и с.
- 350 -
Приведем еще следующие формулы:
. с . A-В С . 0-6
sin у sin 2- = cos у-sin -2-
. с Л-В . С . a + 6
Sin у COS 2 = Sin у Sin 2-
с . Л -"-В С a-6
COS у Sin 2 - cos 2 cos ^
с Л -t-B С a+ 6
COS у COS 2
sin a cos В = cos b sin с - sin b cos с cos А, sin A cos b = cos В sin С
-+- sin В cos С cos а, sin a sin с -+- cos a cos с cos? = sini4sinC- -
cos A cos С cos Ь,
sin С tg В cos А si nA cos с
tgacos6- sin 6 cos С sine '
sin a sin В = sin b sin A, sin A сosB = cos b sin с - sin b cos с cos A,
cos a - cos b cos с + sin b sin с cos A.
(7)
(8)
(9)
2. Прямоугольные сферические треугольники
Пусть прямой угол будет А. Тогда
cos а = cos 6 cos с, sin 6 = sin a sin tg 6 = tg a cos C, sin c - sin a
sin С, tgc = tgacosfi, tg с = sin 6 tg C, cos C= sin 5 cos c, tg b = sin
с tg B, cos a = ctg В ctg C, cos В = sin С cos b.
- 351 -
(10)
(H)
(12)
Эти формулы служат для решения прямоугольных треугольников во всех
встречающихся случаях.
3. Общий случай решения сферических треугольников. Если известны три
стороны треугольника и требуется найти три его угла, то проще всего
воспользоваться последним выражением в формулах (5) и аналогичными
выражениями для углов В и С. Если, наоборот, известны три угла
треугольника и требуется найти три его стороны, пользуемся последним
выражением в формулах (6) и аналогичными для Ь и с.
Если известны две стороны а и Ь и угол между ними С, то решение может
быть найдено с помощью формул (7) (первое выражение содержит только
неизвестные величины). Однако быстрее можно получить решение по формулам
cos с = cos a cos Ь -+- sin a sin Ь cos С, sin С ctg А = sin Ь ctg а -
cos Ь cos С, (13)
sin С ctg В = sin a ctg Ь - cos a cos С.
4. Метод И. Д. Жонголовича. При решении задач плоской и сферической
тригонометрии можно ограничиться употреблением только одной
тригонометрической функции tg-j. Соответствующие формулы, которые легко
выводятся из обычных формул тригонометрии, получены И. Д. Жонголовичем.
Рассмотрим, например, прямоугольный сферический треугольник. Пусть даны
