Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
либрационными точками Лагранжа Lt и Ls.
-263 -
Если теперь у = 0, то особые точки находятся на оси х, и мы имеем из
первого уравнения (V. 187)
х-{\ - т)^р - тх-=р = 0. (V. 191)
''I г2
Если т малая величина, то решение уравнения (V. 191) может быть найдено в
виде бесконечного ряда, расположенного по степеням малого параметра т.
Подробный
Рис. 16. Поверхности нулевой скорости в ограниченной задаче трех тел.
анализ решения уравнения (V. 191) можно найти в книге М. Ф. Субботина
"Курс небесной механики", т. 2, 1937 г. Мы ограничимся здесь только
окончательными результатами.
Так как уравнение (V. 191) имеет три корня, то необходимо рассмотреть три
различных случая.
Первый случай. Особая точка лежит на оси х между Солнцем и Землей (рис.
16). Тогда
Г1-ьг2 = 1, (V. 192)
г2 = р-sV-(V. 193)
где
3(1 -ml*
Полагая для Земли т -1:320 ООО, находим по формуле (V. 193)
г2 = 0.01010 а. е.
-264 -
Второй случай. Особая точка лежит на оси х справа от Земли. Тогда
r,-r, = l, (V. 194)
г2 = р.-'-J|X2 - (V. 195)
По формуле (V. 195) находим численное значение г2 = 0.01017 а. е.
Третий случай. Особая точка лежит на оси х слева от Солнца. Тогда
r2 -rj = l, (V. 196)
r, = 2-Jy-H?!**-... (V. 197)
или, подставляя числовое решение для р, г2 = 1.999 99818 а. е.
Особые точки поверхности нулевой скорости, лежащие на оси х, называются
либрационными точками Лагранжа и обозначаются Llt Z>2 и Ls.
Каждой либрационной точке соответствует определенное численное значение
постоянной Якоби, которое может быть вычислено по формуле (V. 178)
С=х2-н?.(1~т)н------------------(V. 198)
Л* - Л*! X - JT'2 ' '
Для либрационных точек Солнца-Земля имеем
Сг = 3.000 9264,
С2 = 3.000 9227,
С3 = 3.000 0156.
4. Устойчивость по Хиллу. Пересечем поверхность нулевой скорости
(V.184) плоскостью ху, тогда
F{x, y) = x2H-yaH-2(1~m)-H^- = C. (V. 199)
rl r2
Ограничимся малыми значениями х и у. В этом случае два первых члена в
уравнении (V. 199) могут быть отброшены, и мы получим
F(x, у) = 2(1~m) -*~ = С. (V. 200)
- 265 -
Если постоянная Якоби С велика, то кривая нулевой скорости состоит из
двух замкнутых овалов вокруг Солнца и Земли. Действительно, если гх мало,
то
2 (1-т) ^
а если мало г2, то
- = С.
п
В первом случае уравнение кривой, окружающей Солнце, имеет вид
- 2 (V. 201)
и во втором случае уравнение кривой, окружающей Землю,
r, = ^. (V. 202)
Чем больше С, тем меньше радиусы окружностей гх и г2. По мере убывания
постоянной Якоби С радиусы окружностей увеличиваются и при C=Cj обе
кривые соприкасаются в особой точке Lx. При еще меньших значениях
постоянной Якоби обе окружности соединяются в одну кривую, охватывающую
Солнце и Землю.
Аналогичная картина имеет место, если мы пересечем поверхность нулевой
скорости плоскостью xz.
Наконец, пересечение поверхности нулевой скорости плоскостью yz дает
у~ -+-2 (\гт--^77 = с. (V. 203)
Если 1 - т гораздо больше, чем т, а х и у очень малы, то
2(1~СТ) = С, (V. 204)
и мы опять имеем уравнение окружности с центром в Солнце, радиус которой
увеличивается с уменьшением С.
Теперь можно получить некоторое представление о форме поверхности нулевой
скорости для различных значений С. Для больших С эта поверхность состоит
из
- 266 -
двух замкнутых поверхностей приблизительно сферической формы вокруг
Солнца и Земли. При уменьшении С поверхности расширяются и при С=С,
касаются друг друга. Для еще меньших значений С обе поверхности сливаются
в одну поверхность, ограничивающую замкнутую полость, внутри которой
находятся Солнце и Земля.
Если координаты и скорость Луны в произвольный момент ее движения таковы,
что постоянная Якоби, вычисленная по формуле (V. 178), настолько велика,
что ей соответствуют замкнутые поверхности вокруг Солнца и Земли, и если
в некоторый момент Луна находится внутри поверхности, окружающей Землю,
то можно утверждать, что она всегда останется там, так как не сможет
пересечь поверхность нулевой скорости. Такая устойчивость носит название
устойчивости по Хиллу. Однако, если значение постоянной Якоби для Луны
мало и поверхность нулевой скорости не замкнута, мы ничего не можем
утверждать об устойчивости Луны, так как хотя она и может удалиться
неопределенно далеко от Земли, но удалится ли она фактически или нет -
вопрос остается открытым.
Итак, устойчивость движения по Хиллу определяется условием
ОС,, (V. 205)
где С, - значение постоянной Якоби в точке либрации L,. Хилл получил для
Луны следующее значение постоянной Якоби:
С =3.25440.
Так как С^> С" то соответствующая поверхность нулевой скорости образует
вокруг Земли замкнутую поверхность с радиусом равным по Хиллу 109.694
экваториальным радиусам Земли, что составляет 700000 км. Таков верхний
предел для расстояния, на которое Луна может удалиться от Земли.
Хагихара (Япония) в 1952 г. показал, что все естественные спутники в
солнечной системе, за исключением четырех спутников Юпитера с обратным
движением (VIII, IX, XI и XII), являются устойчивыми по Хиллу.
